F-planární zobrazení speciálních variet – Mgr. Patrik PEŠKA

Anotace:

Disertační práce je věnována studiu některých aktuálních otázek teorie geodetických, holomorfně projektivních a $F$-planárních zobrazení (pseudo-) Riemannových variet a variet s afinní konexí. V první části disertace jsou nalezeny fundamentální rovnice geodetických zobrazení daných prostorů s afinní konexí na symetrické prostory ve tvaru uzavřené soustavy parciálních diferenciálních rovnic v kovariantních derivacích Cauchyova typu. V druhé části jsme dokázali, že holomorfně-projektivní zobrazeních parabolicky Kählerových variet zachovává diferencovatelnost základních objektů. Tímto byly upřesněny fundamentální rovnice M. Shihy. Ve třetí části jsme ukázali, že $PQ^\varepsilon$-zobrazení, která zavedl P. Topalov, jsou speciálním případem $F_2$-planárních zobrazení zavedených J. Mikešem. Na tomto základě jsme zavedli $F_2^\varepsilon$-zobrazení, pro které jsme našli nové výsledky. Výsledky obsažené v disertační práci mají význam v teorii diferenciální geometrie variet se strukturami a jejich zobrazení, dále mohou být aplikovány v teoretické mechanice a fyzice, zvláště pak v teorii relativity. …víceméně

Abstract:

This dissertation is aim to study some issues related to the theory of geodesic, holomorphically projective and $F$-planar mappings of (pseudo-) Riemannian manifolds and manifolds with affine connection. The first part of the dissertation presents fundamental equations of geodesic mappings from the given spaces with affine connection onto symmetric manifolds in the form of a closed system of Cauchy type differential equations in covariant derivatives. In the second part we prove that holomorphically projective mappings of parabolically K\"ahler manifolds preserve of the basic objects. This specifies the fundamental equations of M. Shiha. In the third part we demonstrate that $PQ^\varepsilon$-mappings which were defined by P. Topalov are a special case of $F_2$planar mappings which were defined by J. Mikes. Basing on that we have introduced $F^\varepsilon_2$ mappings for which we have found the new results. The results of this dissertation thesis could be applied in the differential geometry of manifolds with structures and their mappings and also could find an application in the theoretical mechanics and physics, and especially in the theory of relativity. …víceméně