Bifurkace v reakčně-difuzních problémech – Mgr. Martin FENCL

Abstract:

Náplní této práce je studium bifurkací v superlineárních neurčitých problémech a systémech reakce--difuze, které vykazují Turingovu difuzí řízenou nestabilitu. Při zkoumání těchto problémů využíváme metod matematické a numerické analýzy. Tato disertace je rozdělena na dvě části. V první se věnujeme již zmíněným superlineárním problémům. Jednak jde o studium globální struktury pozitivních řešení pomocí numerické kontinuace a objasnění domněnky o počtu těchto řešení. Dále se pak zabýváme superlineárním problémem s váhovou funkcí. Zde jsme se věnovali nečekaným spektrálním vlastnostem tohoto problému a jejich důsledkům na chování bifurkačních větví. V druhé části této práce shrneme naše výsledky týkající se vlivu jednostranných členů a jednostranných členů obsahujících integrální průměr v rovnici pro aktivátor u systému reakce--difuze na vznik prostorových vzorků. Ukážeme, že množina difuzních parametrů, pro které je bifurkace z konstantního řešení možná, je v takovém případě menší, než u problému bez jednostranných členů. Zároveň prozkoumáme tvorbu vzorků u problému se Schnakenbergovou kinetikou pomocí numerických experimentů pro různé jednostranné členy a okrajové podmínky. Závěrem přikládáme ve čtyřech apendixech články s výsledky, které prezentujeme v textu této disertační práce. …víceméně

Abstract:

This dissertation thesis presents our recent results concerning bifurcations in superlinear indefinite problems and in reaction-diffusion systems exhibiting Turing's diffusion-driven instability. All problems in the thesis are studied both by analytical and numerical methods. We divided the thesis into two main parts. The first one is focused on superlinear indefinite problems. We study the global structure of positive solutions using numerical continuation and solve the conjecture about number of positive solutions under some additional conditions. Subsequently, we explore a weighted superlinear indefinite problem with unexpected spectral properties, which lead to complex behaviour of branches of nodal solutions. The second part contains results concerning a system of two reaction-diffusion equations exhibiting Turing's instability. We show that adding unilateral terms or unilateral terms involving integral average to the activator equation of the system results in a smaller set of positive diffusion parameters, for which the bifurcation from the trivial solution can occur. All analytical results in the part are accompanied by numerical experiments with Schnakenberg reaction kinetics. The main aim of these experiments is to observe changes in pattern formation provoked by various unilateral terms and boundary conditions. The last part of the thesis is composed of four appendices containing our original publications with all details and technicalities for any interested readers. …víceméně