Analýza bistabilní rovnice a jejích zobecnění – Bc. Radim HOŠEK

Abstract:

Diplomová práce se zabývá bistabilní rovnicí $u_t = \varepsilon^2 u_{xx} -F'(u)$, pomocí níž lze modelovat dynamiku skupenské přeměny za určité kritické teploty. Vychází z poznatků publikovaných Drábkem a Robinsonem (Pavel Drábek a Stephen B. Robinson: Continua of local minimizers in a non-smooth model of phase transition, 2011), která vysvětluje fenomén pomalé dynamiky. V úvodní kapitole jsou představeny některé známé výsledky, na něž se v dalších kapitolách navazuje a které se rozvíjí. V kapitole druhé se práce oprostí od fyzikálně motivovaného případu potenciálu se dvěma zdroji a rozkrývá chování modelu i pro potenciály vícezdrojové. Pro popis stacionárních řešení modelu je použito diagramu řešení (v závislosti na parametrech), jehož vlastnosti jsou zkoumány v kapitole třetí. Čtvrtá kapitola potom otevírá problematiku nehladkých potenciálů, které umožňují vznik variet řešení. Výsledek, známý pro nehladký dvouzdrojový potenciál, je zobecňován pro další typy potenciálů. Určování počtu variet stacionárních řešení pak nabízí zajímavé propojení do elementární teorie grafů. Práce obsahuje velké množství výsledků, které považujeme za původní. Jejich shrnutí je věnována pátá, závěrečná kapitola. …víceméně

Abstract:

This diploma thesis focuses on bistable equation $u_t = \varepsilon^2 u_{xx} - F'(u)$ that models the dynamics of phase transition at some critical temperature. It is based on work of Dr abek and Robinson (Dr abek, P. and Robinson, S.B.: Continua of local minimizers in a non-smooth model of phase transition, 2011) that off ers an explanation to the phenomenon of slow dynamics. In Chapter 1 we present some known results, that we work with and generalize in the next chapters. In Chapter 2 we abandon the physics motivated case of double-well potential and unravel the behaviour of the model also for multi-well potentials. Solution diagram is used in order to describe the stationary solutions; its properties are examined in Chapter 3. In Chapter 4 we open the issue of non-smooth potentials that enable an existence of manifolds of solutions. This result, known for non-smooth double-well potential, is generalized for potentials of other type. Determining the number of manifolds reveals an interesting connection to basic graph theory. The thesis contains a number of results that we consider being original. Their short summary builds Chapter 5. …víceméně