Operators on Ordered Algebras – Mgr. Zdeněk SVOBODA

Abstract:

Topologické Booleovské algebry (uzávěrové algebry resp. vnitřkové algebry) představují zobecnění topologických prostorů definovaných pomocí topologických uzávěrových a vnitřkových operátorů. Je známo, že MV-algebry před-stavují algebraický protějšek Lukasiewiczovy nekonečně hodnotové logiky podobně jako Booleovské algebry plní tuto funkci pro klasickou dvouhodnotovou logiku. Residuované svazy tvoří širokou třídu algeber obsahující jak MV-algebry tak také další algebry, které lze považovat za algebraické sémantiky obecnějších logik než je klasická. Basic algebry byly zavedeny jakožto neasociativní zobecnění MV-algeber a představují společný základ pro MV-algebry a ortomodulární svazy. Aditivní uzávěrové a multiplikativní vnitřkové operátory na MV-algebrách byly zavedeny jakožto zobecnění topologických Booleovských algeber. V práci zavádíme a zkoumáme aditivní uzávěrové a multiplikativní vnitřkové operátory na residuovaných svazech (komutativních i nekomutativních) a na komutativních basic algebrách. Dále studujeme vlastnosti modálních operátorů (představujících speciální případ uzávěrových operátorů) na residuovaných svazech a na komutativních basic algebrách. …víceméně

Abstract:

Topological Boolean algebras (closure algebras, resp. interior algebras) are generalizations of topological spaces defined by means of topological closure and interior operators. It is well known that MV-algebras are an algebraic counterpart of the Lukasiewicz infinite valued propositional logic as well as Boolean algebras play this role for classical two valued logic. Residuated lattices form a wide class of algebras, which contains the class of MV-algebras as well as other algebras that can be taken as algebraic semantics of a more general logic than the classic logic. Basic algebras have been introduced as non-associative generalizations of MV-algebras. Basic algebras are in a sense a common base for MV-algebras and orthomodular lattices. Additive closure and multiplicative interior operators on MV-algebras were introduced as generalization of topological Boolean algebras. We introduce and investigate additive closure and multiplicative interior operators on residuated lattices (both in the commutative and non-commutative case) and on commutative basic algebras. Moreover, we study modal operators (special cases of closure operators) on residuated lattices and on commutative basic algebras. …víceméně