EQ-logics – Mgr. Martin DYBA

Abstract:

Mathematical logic has been for many years developed on the basis of implication as the main connective. In eighties, new direction of the development has been initiated which is called equational logic. This logic is based on equality as the main connective. It brought an idea to develop also fuzzy logic on the basis of fuzzy equality (equivalence) as the principal connective. The goal of the thesis is to propose a new class of many-valued logics called EQ-logics which are based on a special algebra of truth values called EQ-algebra, and thus to show a possible direction in the development of mathematical fuzzy logics by starting with equivalence instead of implication. The author introduces the formal theory of EQ-logic, studies its properties and also outlines a possible continuation in the future. The structure of the work is as follows. Chapter 1 is devoted to introduction and motivation of the study and it also briefly recalls the simplest implication-based fuzzy logic whose properties are used later in this thesis. Chapter 2 contains overview of three basic truth structures for EQ-logics. This chapter provides properties and examples of each of these special classes of EQ-algebras. In Chapter 3, four kinds of propositional EQ-logic are introduced. Namely, the basic one and its extensions---involutive EQ-logic, prelinear and finally EQ-logic which is equivalent to MTL-logic. Their properties are studied and the completeness theorems in each of them are proved. Chapter 4 focuses on extension of EQ-logic by the delta connective. The resulting EQ-logics with delta connective are demonstrated to have reasonable properties including completeness. Introducing delta connective in EQ-logic makes it possible to prove generalized deduction theorem and it opens the door to development of the predicate first-order EQ-logic. Chapter 3 and 4 form the main part of this thesis. Finally, Chapter 5 outlines how the predicate version of EQ-logic should be developed. The last chapter summarizes the results presented in the thesis and briefly discusses them. …víceméně

Abstract:

Matematická logika se mnoho let rozvíjela na základě implikace. V osmdesátých letech se však objevil nový směr v rozvoji logiky, vznikla tzv. ekvacionální logika. Tato logika je založená na rovnosti. To vedlo k myšlence rozvinout fuzzy logiku, která byla doposud rozvíjena s pomocí implikace, na základě rovnosti (ekvivalence). Cílem této disertace je navrhnout novou třídu vícehodnotových logik, které se nazývají EQ-logiky. Jsou založené na speciální algebře pravdivostních hodnot --- EQ-algebře. Tato disertace se zároveň snaží ukázat možný směr v rozvoji matematických fuzzy logik vycházející z ekvivalence namísto implikace. Autor představuje formální teorii EQ-logik, studuje její vlastnosti a ukazuje její pokračování do budoucna. Struktura práce je následující. Kapitola 1 se věnuje úvodu a motivaci do studia a zároveň připomíná nejjednodušší logiku založenou na implikaci, jejíž vlastnosti jsou dále v disertační práci použity. Kapitola 2 zahrnuje přehled tří základních pravdivostních struktur pro EQ-logiky. Vlastnosti a příklady každé této speciální třídy EQ-algeber jsou v této kapitole vzpomenuty. V kapitole 3 jsou představeny čtyři druhy výrokových EQ-logik, a to základní EQ-logika a její rozšíření --- involutivní EQ-logika, prelineární a nakonec EQ-logika, která je ekvivalentní s MTL-logikou. Jsou studovány jejich vlastnosti a jsou dokázány věty o úplnosti každé z těchto logik. Kapitola 4 se zaměřuje na rozšíření EQ-logiky delta spojkou. Tato kapitola uvádí, že EQ-logika s delta spojkou má rozumné vlastnosti včetně úplnosti. Zavedení delta spojky v EQ-logice umožňuje dokázat zobecněnou větu o dedukci, což otevírá dveře k rozvoji EQ-logiky prvního řádu. Kapitoly 3 a 4 jsou ústřední části této disertační práce. Konečně, kapitola 5 naznačuje, jak by měla být predikátová EQ-logika rozvinuta. Poslední kapitola shrnuje výsledky této disertační práce. …víceméně