Diferenciální a diferenční inkluze – Mgr. Hana MACHŮ

Anotace:

Existuje spousta fyzikálních systémů, ve kterých matematické modelovaní vede k nespojitým úlohám. Např. tato práce je motivována rovnicí kyvadla se suchým třením. Pohyb tohoto kyvadla je modelován diferenciální rovnicí s nespojitostí v prostorové proměnné. Jestliže se na pravé straně daných diferenciálních rovnic vyskytnou nespojitosti v prostorových proměnných, pak je přirozeným pojmem řešení ve smyslu Filippova. Tj. použitím Filippovovy teorie je úloha s nespojitostmi přeformulována na diferenciální inkluzi, tedy na mnohoznačnou úlohu. Tato práce je rozdělena do dvou hlavních částí. První část se zabývá vyšetřováním existence a lokalizace Filippovových řešení diferenciálních rovnic druhého řádu s nespojitostmi v prostorových proměnných (buzených nelineárních diferenciálních rovnic zahrnující kombinaci viskózního a suchého tření) a diferenciálních inkluzí druhého řádu se shora polospojitými pravými stranami, a Dirichletovými okrajovými podmínkami. Pro řešitelnost těchto úloh jsou stanoveny postačující podmínky ve tvarech růstových omezení. Při formulování těchto efektivních podmínek nám explicitní odhady řešení a jejich derivací umožní se omezit na dostatečně velké okolí počátku. Tímto způsobem může být chování nelinearit vně tohoto okolí zcela libovolné. Kvůli obdržení optimálních kritérií řešitelnosti jsou v této práci úlohy s jednočlennými (zbývající členy jsou pak uvažovány jako součást mnohoznačné perturbace pravých stran inkluzí) a úplnými lineárními diferenciálními operátory na levých stranách uvažovaných inkluzí brány odděleně prostřednictvím různých Greenových funkcí. Přeformulováním úloh do jejich operátorové podoby získáme aplikací mnohoznačné verze Schauderovy věty o pevném bodě (Kakutaniho-Ky Fanovy věty o pevném bodě) existenci Filippovova řešení daných úloh. V druhé části aplikujeme techniky z první části na diskrétní úlohu a obdržíme tak existenci jejího řešení a odhad řešení a jeho první diference nezávislý na velikosti diskretizačního kroku. Je také studován vztah mezi řešeními Dirichletových okrajových problémů pro systém diferenciálních inkluzí druhého řádu se shora polospojitými pravými stranami a příslušných numerických diskrétních Dirichletových okrajových problémů pro diferenční inkluze druhého řádu. …víceméně

Abstract:

There are many physical systems in which the mathematical modeling leads to discontinuous problems. For example, this thesis is motivated by the equation of a~pendulum with a~dry friction. The move of this pendulum is modeled by a differential equation with discontinuity in the state variable. If in the right-hand sides of given differential equations occure discontinuities in the state variables, then the natural notion of a solution is the one in the sense of Filippov. I.e. using Filippov's theory the problem with discontinuities is reformulated as a differential inclusion, thus as a multivalued problem. This thesis is divided to the two main parts. The first part deals with the investigation of the existence and localization of a Filippov's solution to the second order differential equations with the discontinuities in the state variables (forced nonlinear differential equations involving the combination of viscous and dry frictions) and second order differential inclusions with upper semicontinuous right-hand sides, and Dirichlet boundary conditions. Sufficient conditions in terms of growth restrictions are given for the solvability of this problems. Explicit extimates of solutions and their derivatives allow us to restrict ourselves to a sufficiently large neighbourhood of the origin, when formulating these effective conditions. In this way, the behaviour of nonlinearities outside of this neighbourhood can be quite arbitrary. In order to get optimal solvability criteria, the problems with one-term (then the remaining terms are considered as a part of a multivalued perturbation of the right-hand sides of the inclusions) and complete linear differential operators on the left-hand sides of the inclusions are treated separately by means of various Green's functions. The existence of Filippov's solutions are obtained by using of the multivalued version of the Schauder fixed point theorem (Kakutani-Ky Fan fixed point theorem) when the problems are reformulated to their operator forms. In the second part, the technique from the first part is applied to the discrete problem. The existence of its solution and the estimates of its solution and its first diference independent of the step size are given. It is also studied the relationship between the solutions of the Dirichlet boundary value problems for the system of the second order differential inclusions with upper semicontinuous right-hand sides and the associated numerical discrete Dirichlet boundary value problems for second order difference inclusions. …víceméně