Oscilační teorie diferenčních rovnic

Bc. Valerie Mišunová

Master's thesis

Oscillation theory of difference equations

Abstract:

V této diplomové práci se věnujeme oscilační teorii diferenčních rovnic. Práce je rozdělena do čtyř kapitol. První kapitola je stručně zaměřena na základní vlastnosti diferenčního počtu, dále se seznámíme s tvarem samoadjungované diferenční rovnice a v souvislosti s ní také představíme diskrétní verzi Riccatiho rovnice. Rovněž zavedeme důležitý pojem zobecněného nulového bodu. Neméně důležitá část této kapitoly pak obsahuje Sturmovu teorii a Reidovu větu. Druhá kapitola je podobně rozdělena, avšak zaměřena na oscilační teorii pololineárních diferenčních rovnic. Třetí kapitola uvádí samotná oscilační kritéria pro pololineární diferenční rovnice včetně jejich důkazů. Nejprve zavádíme kritéria založená na Riccatiho technice a následně kritéria založená na variačním principu. Veškerá zavedená teorie je pak využita v poslední kapitole, jež pojednává o oscilační teorii pro rovnice Eulerova typu. Zejména hlavní výsledek se zabývá podmíněnou oscilatoričností rovnic tohoto typu.

Abstract:

In this thesis, we study the oscillation theory of difference equations. The text is divided into four chapters. The first chapter introduces the basics of difference calculus. Next, the form of the self-adjoint difference equation is given, and in connection with it, we also present a discrete version of the Riccati equation. We also introduce an important notion of a generalized zero. A significant part of this chapter contains the Sturmian theory and the Reid theorem. The second chapter is similarly divided but focused on the oscillation theory of half-linear difference equations. The third chapter presents oscillation criteria for half-linear difference equations, including their proofs. At first, we introduce criteria based on the Riccati technique, then criteria based on the variational principle. All mentioned theory is used in the last chapter, which deals with the oscillation theory of Euler-type equations. Particularly, the main result of this chapter deals with the conditional oscillation of this type of equations.

Keywords

lineární diferenční rovnice druhého řádu, pololineární diferenční rovnice, oscilační teorie, Riccatiho rovnice, Reidova věta, Sturmova teorie, Piconeho identita, oscilatorické rovnice, podmíněná oscilatoričnost, oscilační kritérium, zobecněný nulový bod, Riccatiho metoda, variační princip, second-order linear difference equations, half-linear difference equations, oscillation theory, Riccati equation, Reid roundabout theorem, Sturmian theory, Picone identity, oscillatory equations, conditional oscillation, oscillation criterion, generalized zero, Riccati technique, variational principle

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 4. 5. 2023

Thesis defence

• Date of defence: 21. 6. 2023
• Supervisor: doc. RNDr. Michal Veselý, Ph.D.
• Reader: Mgr. Jiřina Šišoláková, Ph.D.

Masaryk University

Faculty of Science

Master programme / field:
Applied Mathematics / Finance and insurance mathematics