Maticové Sturmovy-Liouvilleovy rovnice se singulárním vedoucím koeficientem

Mgr. Iva Dřímalová

Advanced ('rigorózní') thesis

Sturm-Liouville matrix equations with singular leading coefficient

Abstract:

Práce, kterou držíte v rukou, je zaměřena na obecnou Sturmovu--Liouvilleovu diferenciální a diferenční rovnici sudého řádu se symetrickými maticovými koeficienty. Oproti obvyklým předpokladům v aktuální literatuře se zaměřujeme na případ, kdy je vedoucí koeficient rovnice singulární ve všech bodech uvažovaného intervalu. Zmíněný druh rovnic může být chápan jako soustava rovnic Sturmova--Liouvilleova typu, kde jednotlivé rovnice jsou různých sudých řádů. V práci zavadíme takzvaný normální tvar příslušné rovnice a s jeho využitím ukazujeme ekvivalenci zmíněné rovnice s jiným vhodným matematickým objektem, konkrétně s lineárním hamiltonovským systémem ve spojité teorii a se symplektickým systémem v diskrétní verzi. Díky tomuto spojení získáváme nové výsledky pro původní rovnici, zmiňme například rovnost geometrické a algebraické násobnosti vlastních čísel, ortogonalitu vlastních funkcí, oscilační větu, Reyleighův princip a větu o Fourierově rozvoji. V práci také uvádíme dostatečné podmínky pro to, aby byla obecná maticová rovnice Sturmova--Liouvilleova typu transformovatelná na normální tvar.

Abstract:

In this thesis we study a general Sturm--Liouville matrix differential and difference equation of even order with symmetric matrix coefficients. We allow the leading coefficient to be singular on the whole interval under consideration, which is not commonly done in a recent literature. This kind of equation can be understood as a system of a general Sturm--Liouville equations of different even orders. We identify the~so-called normal form of this equation, which allows to transform this equation into another suitable and well studied mathematical object, namely into a linear Hamiltonian system in the continuous case and into a symplectic system in the discrete case. Based on this transformation we prove that the associated eigenvalue problem with Dirichlet boundary conditions possesses all the traditional spectral properties, such as the equality of the geometric and algebraic multiplicities of the eigenvalues, orthogonality of the eigenfunctions, the oscillation theorem and Rayleigh's principle, and the Fourier expansion theorem. We also discuss sufficient conditions, which allow to reduce a~general even order symmetric Sturm--Liouville matrix differential equation into the normal form.

Keywords

Sturmova--Liouvilleova diferenciální rovnice, Singulární vedoucí koeficient, Sturmova--Liouvilleova diferenční rovnice, Lineární hamiltonovský systém, Symplektický systém, Zobecněná kvaziderivace, Zobecněná kvazidiference, Oscilační teorie, Rayleighův princip, Sturm--Liouville differential equation, Singular leading coefficient, Sturm--Liouville difference equation, Linear Hamiltonian system, Symplectic system, Generalized quasiderivative, Generalized quasidifference, Oscillation theory, Spectral theory, Quadratic functional, Rayleigh's principle

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 29. 9. 2016

Thesis defence

• Date of defence: 15. 12. 2016
• Reader: doc. RNDr. Michal Veselý, Ph.D., prof. Dr. Agacik Zafer

Masaryk University

Faculty of Science

Advanced ('rigorózní řízení') programme / field:
Mathematics / Mathematical Analysis