Efektové algebry a kvantové logiky

Bc. Roman Štěpánek

Master's thesis

Effect algebras and quantum logics

Abstract:

V první části této diplomové práce se věnujeme popisu několika algebraických struktur formalizujících různé logiky. Jedná se o Booleovy algebry pro klasickou výrokovou logiku, ortomodulární svazy pro logiku kvantové mechaniky a MV-algebry pro vícehodnotové logiky. Dále zkoumáme vlastnosti efektových algeber, které jsou zobecněním výše uvedených struktur. Ve druhé části se zaměřujeme na logické odvozovací systémy, pro klasickou logiku zde uvádíme jeden Hilbertovský a jeden Gentzenovský. Dále zavádíme pojem efektového grupoidu, což je struktura ekvivalentní svazové efektové algebře, definujeme efekto-grupoidový odvozovací systém pro svazové efektové algebry a ukazujeme, že je korektní a úplný.

Abstract:

In the first part of this thesis we study description of several algebraic structures, that formalize different types of logics, specifically Boolean algebras for clasical proposional calculus, orthomodular lattices for logic of quantum mechanics and MV-algebras for Many-valued logics. Next we study properties of effect algebras, that generalize all structures mentioned above. In the second part we focus on deductive systems, we present one Hilbert-style system and one Gentzen-style system for clasical proposional calculus. Next we define so called effect groupoid, structure equivalent to lattice effect algebra, we define effect groupoid-based deductive system for lattice effect algebras and we show it is sound and complete.

Keywords

efektová algebra, ortoalgebra, ortomodulární poset, ortomodulární svaz, Booleova algebra, MV-algebra, svazová efektová algebra, výroková logika, logika kvantové mechaniky, vícehodnotová logika, odvozovací systém, sekvenční kalkul, implikační algebra, efektový grupoid, efekto-grupoidová logika, Effect Algebra, Orthoalgebra, Orthomodular Poset, Orthomodular Lattice, Boolean Algebra, Lattice Effect Algebra, Proposional Calculus, Logic of Quantum Mechanics, Many-Valued Logic, Deductive System, Sequent Calculus, Implication Algebra, Effect Groupoid, Effect Groupoid-based Logic

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 4. 1. 2018

Thesis defence

• Date of defence: 14. 2. 2018
• Supervisor: doc. RNDr. Jan Paseka, CSc.
• Reader: Mgr. David Kruml, Ph.D.

Masaryk University

Faculty of Science

Master programme / field:
Mathematics / Algebra and Discrete Mathematics