Structural and geometric graph theory and algorithmic metatheorems

Mgr. Filip Pokrývka

Advanced ('rigorózní') thesis

Abstract:

Základným problémom v teórií konečných modelov je problém overovania vlastností relačných štruktúr. V súčastnosti sa výskum sústredí na hľadanie podtried grafov, na ktorých je problém overovania vlastností definovaných logikou prvého rádu (FO) parametrizovateľný (FPT), pretože vo všeobecnosti je tento ptoblém AW[*]-úplný. Táto téza sa sústredí na problém overovania FO vlastností na grafoch, ktoré vieme geometricky reprezentovať a tiež na problém overovania MSO1 vlastností na konfigurácií bodov v rovine. Naše výsledky naväzujú na nedávno predstavenú definíciu twin-width. Bonet a ďaľší na základe ich výsledkov o twin-width dokazali definovať presnú hranicu medzi podtriedami permutačných grafov na ktorých je problem FO overovanie vlastností FPT a na ktorých nie. Naša práca rozširuje túto hranicu na triede kružnicových (circle) grafov. Ďalší výsledok prezentovaný v tejto téze je použitie poznatkov Blumensatha a Courcella o klikovej šírke (clique-width) relačných štruktúr a o prebléme overovania MSO1 vlastností. Výsledkom našej práce sú linárne FPT algoritmy riešiace niektoré problémy kombinačnej geometrie. Na to sme definovali klikovú šírku na type takzvaný order-type konfigurácie bodov.

Abstract:

A fundamental problem in finite model theory is model checking on relational structures. The current main points of research focus on finding subclasses of graphs on which first-order (FO) model checking is fixed-parameter tractable (FPT), since FO model checking on general graphs is AW[*]-complete. This thesis proposal focuses on the complexity of FO model checking on graphs with geometrical representation and MSO1 model checking on point configurations in the plane. The FO model checking results build on a graph parameter called twin-width, recently introduced by Bonet et al. Their work defined the tight boundary between tractable and intractable hereditary subclasses of permutation graphs. We extend this boundary and determine all tractable hereditary subclasses of circle-graphs. The other result in this thesis proposal is an application of the work of Blumensath and Courcelle about clique-width of relational structures and MSO1 model checking. Using their framework, we provided linear FPT algorithms solving some combinatorial geometry problems. To do that, we needed to define clique-width of an order type of a point configuration.

Keywords

first-order model checking, intersection graphs, fixed-paramerer tractability, FPT, twin-width, clique-width, order type of point configurations

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 23. 9. 2021

Thesis defence

• Date of defence: 18. 1. 2022
• Reader: Dr. rer. nat. Achim Blumensath, M.Sc. Maria Saumell Mendiola, Ph.D.

Masaryk University

Faculty of Informatics

Advanced ('rigorózní řízení') programme / field:
Theoretical computer science / Theoretical computer science