Rychlé heuristické metody numerického řešení úlohy inverzní kinematiky

Ing. Jan Čejka

Doctoral thesis

Fast heuristic methods of numerical solution of inverse kinematics

Anotácia:

Při zkoumání rozsáhlých robotických soustav pro potřeby firmy ŠKODA AUTO a.s. byl vytvořen software, který je zaměřen na kontrolu robotů a robotových standardů používaných v koncernu Volkswagen AG. Součástí je i matematická knihovna, která řeší několik základní inženýrských úloh. Jedná se o přímou a inverzní kinematickou úlohu v robotice a o řešení soustav lineárních rovnic více proměnných. Při zkoumání numerických metod v rámci programování uvedených úloh byly vyvinuty dva zcela nové algoritmy. Jedná se o metodu relaxace úhlu, která je určena pro řešení soustav lineárních rovnic. Může být také nepřímo použita pro řešení inverzní kinematické úlohy v robotice. Druhý algoritmus je přímo určen pro řešení inverzní kinematické úlohy v robotice. V tomto případě se jedná o metodu relaxace délky. Metoda relaxace úhlu je diskutována z hlediska základního principu a numerických vlastností při výpočtu soustav lineárních rovnic. Je zkoumána rychlost konvergence, závislost na číslu podmíněnosti a schopnost řešit obecné soustavy lineárních rovnic pro různé podoby matice soustavy. V rámci jednotlivých experimentů se metoda porovnává s výsledky známých numerických metod. Ukazuje se, že metoda relaxace úhlu konverguje k výsledkům podobným jako Mooreova-Penroseova pseudoinverze i v případě singulární matice soustavy. Tato vlastnost je vhodná pro řešení inverzní kinematické úlohy v robotice, protože se při výpočtu matice soustavy dynamicky mění v závislosti na postavení kinematické struktury robota. Aby bylo možné metodu relaxace úhlu použít pro výpočet inverzní kinematické úlohy v robotice, vychází práce z přístupů, které převádí tuto problematiku do podoby soustav lineárních rovnic. Jelikož inverzní kinematická úloha v robotice vede na soustavy nelineárních rovnic, jedná se o přístupy, které linearizují řešení ve vybraném pracovním bodě pomocí Jacobiho matice, tzn. Newtonova metoda, inverze Jacobiho matice a metoda Levenberg-Marquardt. Všechny tři přístupy jsou odzkoušeny na kinematické struktuře planárního manipulátoru a robotu KUKA KR210 R2700 EXTRA. Vzniklé soustavy lineárních rovnic jsou řešeny standardní cestou pomocí Mooreovy-Penroseovy pseudoinverze a zároveň metodou relaxace úhlu. Výsledky obou přístupů jsou vyhodnoceny a porovnány. Na závěr práce je diskutována metoda relaxace délky, kterou lze zařadit do skupiny heuristických metod. Metoda je popsána z hlediska jejího principu a porovnána se známými heuristickými metodami CCD a FABRIK.

Abstract:

As part of a research of large robotic systems for the needs of SKODA AUTO, a.s. company a inspectional software was developed. The software focuses on a control of robots and programming standards used by Volkswagen AG. The software includes a mathematical library which solves several basic engineering tasks. It is a problem of forward and inverse kinematics in robotics and a solution of systems of linear equations. This work introduces two completely new algorithms which were developed during the programming of the mathematical library. It is angle relaxation method which is designed for solving of systems of linear equations. It can also be used indirectly to solve inverse kinematics in robotics. The second algorithm is designed directly for solving of inverse kinematics in robotics. In this case the work talks about length relaxation method. The angle relaxation method is discussed from the point of view of basic principle and numerical properties. A speed of convergence, a dependence on the condition number and an ability to solve general systems of linear equations for different forms of matrices were examined. Results of angle relaxation method were compared with results of known numerical methods. It appears that the angle relaxation method converges to results similar to results of Moore-Penrose pseudoinverse. This property is suitable for the solving of inverse kinematics in robotics because the system matrix is dynamically changed during a calculation depending on a position of the kinematic structure of the robot. In order to use the angle relaxation method to calculate the inverse kinematics in robotics, the work is based on approaches which transform the problem into systems of linear equations. The inverse kinematics in robotics leads primarily to systems of nonlinear equations. For this reason approaches were chosen which linearize the equation using a Jacobian matrix, i.e. Newton's method, inverse Jacobian method and Levenberg-Marquardt method. All three approaches were tested on the kinematic structure of the planar manipulator and the robot KUKA KR210 R2700 EXTRA. Systems of linear equations were solved by a standard way using Moore-Penrose pseudoinverse and at the same time by the angle relaxation method. Results of both approaches were evaluated and compared. At the end of this work the length relaxation method is discussed which can be included in the group of heuristic methods. The length relaxation method is described from the point of view of basic principle and compared with known heuristic methods CCD and FABRIK.

Kľúčové slová

soustavy lineárních rovnic, inverzní kinematická úloha, pseudoinverze, robotika

Jazyk práce: Czech

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 13. 5. 2019

Obhajoba závěrečné práce

• Obhajoba proběhla 27. 8. 2019
• Vedúci: doc. Ing. Josef Černohorský, Ph.D.

Technical University of Liberec

Faculty of Mechatronics, Informatics and Interdisciplinary Studies

Doctoral programme / odbor:
Electrical Engineering and Informatics / Technical cybernetics