Intervalový a fuzzy kalkulus na časových škálách

Tri TRUONG VAN

Doctoral thesis

Interval and fuzzy calculus on time scales

Abstract:

This thesis aims to bring together two essential aspects of modeling: time domain and uncertainty. To do this end, interval and fuzzy calculus on time scales are proposed. We establish crucial calculus tools to investigate interval dynamic equations (IDEs), fuzzy dynamic equations (FDEs), or uncertain optimization problems on hybrid domains. First, a novel derivative and integral called the diamond-alpha derivative and Riemann diamond-alpha integral are introduced for interval-valued functions (IVFs) on time scales. Using these concepts, we study IDEs with initial conditions on time scales and also provide interval versions for diamond-alpha Jensen's, Holder's, and Minkowski's inequalities. Second, the concept of delta derivatives is proposed for binary fuzzy-valued functions (FVFs) on time scales. Furthermore, fuzzy transport equations are studied as an application of these derivatives. In addition, we introduce the concept of granular delta differentiability for FVFs on time scales using relative distance measure fuzzy arithmetic and horizontal membership functions. The existence and uniqueness of solutions to fuzzy dynamic equations with initial boundary conditions are rigorously studied. The Malthusian model is discussed as a specific example illustrating the proposed approach. Finally, we study fuzzy q-symmetric variational problems with natural boundary conditions. For this purpose, we introduce the new concepts of differentiability and integrability for FVFs on quantum geometric subsets of real numbers and establish the foundations of q-symmetric calculus of variations. Using these foundations, we derive necessary and sufficient optimality conditions for the existence of minimizers of q-symmetric variational problems.

Abstract:

Cílem této práce je spojit dva základní aspekty modelování: čas a neurčitost. Za tímto účelem je navržen intervalový a fuzzy kalkulus na časových škálách. Zavádíme klíčové kalkulové nástroje ke zkoumání intervalových dynamických rovnic (IDEs), fuzzy dynamických rovnic (FDEs) nebo neurčitých optimalizačních problémů na hybridních oblastech. Nejprve jsou zavedeny nové derivace a integrály nazvané diamond-alpha derivace a Riemannův diamond-alpha integrál pro intervalové funkce (IVFs) na časových škálách. Pomocí těchto konceptů studujeme IVFs počátečními podmínkami na časových škálách a také poskytujeme intervalové verze pro diamond-alpha Jensenovy, Holderovy a Minkowského nerovnosti. Zadruhé je navržen koncept delta derivací pro binární fuzzy-hodnotové funkce (FVFs) na časových škálách. Dále jsou studovány fuzzy rovnice kontinuity jako aplikace těchto derivací. Kromě toho zavádíme koncept granulární delta diferencovatelnosti pro FVFs na časových škálách pomocí relativní míry vzdálenosti fuzzy aritmetiky a horizontálních funkcí příslušnosti. Existence a jednoznačnost řešení fuzzy dynamických rovnic s počátečními okrajovými podmínkami jsou důsledně studovány. Jako konkrétní příklad ilustrující navržený přístup je diskutován Malthusiánský model. Nakonec studujeme fuzzy q-symetrické variační úlohy s přirozenými okrajovými podmínkami. Za tímto účelem zavádíme nové pojmy diferencovatelnosti a integrability pro FVFs na kvantově geometrických podmnožinách reálných čísel a vytváříme základy q-symetrického variačního kalkulu. Na základě těchto základů odvozujeme nutné a postačující podmínky optimality pro existenci minimalizačních hodnot q-symetrických variačních úloh.

Keywords

časové škály, kalkulus časových škál, q-kalkulus, intervalové funkce, funkce s fuzzy hodnotami, zobecněná Hukuharova diference, relativní míra vzdálenosti, horizontální funkce příslušnosti, granulární diference, intervalové dynamické rovnice, fuzzy dynamické rovnice, kvalitativní teorie, neurčité Malthusovy modely, neurčité optimalizační problémy, variační kalkul, Eulerovy-Lagrangeovy rovnice, intervalové nerovnosti

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 8. 6. 2023

Accessible from:: 31. 12. 2999

Thesis defence

• Date of defence: 31. 10. 2023
• Supervisor: doc. Baruch Schneider, PhD.

University of Ostrava

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Applied Mathematics / Applied Mathematics and Fuzzy modelling