Metrizovatelnost afinní konexe

Mgr. Petra PIRKLOVÁ

Doctoral thesis

Metrizability of affine connection

Abstract:

Tato dizertační práce je věnována afinním konexím na varietách, problému jejich metrizovatelnosti a přehledu různých metod, jichž lze použít k řešení této otázky. Všechny metody jsou demonstrovány na vybraných příkladech. Pro dimenzi dva je dána vyčerpávající odpověď pro případ, že konexe nemá ploché body, s využitím vlastností Ricciho tenzoru. Pro reálně analytické konexe na reálně analytických varietách je prezentován rozhodovací algoritmus, postavený na de Rhamově rozkladu, rozpracovaný O. Kowalskim. V případě kladné odpovědi na otázku existence metrik je předvedena následná konstrukce všech metrik kompatibilních s danou konexí. Postup v podstatě může být implementován do počítače. Inspirací pro hlubší studium této klasické problematiky byla možnost využití metrizačních metod ve variačním počtu pro rozhodování o variačnosti jistých systémů parciálních diferenciálních rovnic druhého řádu, jak opět uvádíme na příkladech. Rovněž rozebíráme příklady obstrukcí, které metrizovatelnosti brání. Dále je zmíněna rekonstrukce metrik nebo konexí ve speciálních souřadnicích s použitím tenzoru křivosti. Poslední část se zabývá Riemannovými nebo afinními prostory, které jsou v jistém smyslu "v okolí všech bodů stejné", tedy homogenní.

Abstract:

This thesis deals with affine connections on manifolds, the problem of their metrization and the summary of different techniques for solving the problem. All the techniques are demonstrated on selected examples. A full and complete answer is provided in respect of dimension two in case, the connection does not have flat points, with the use of the characteristics of the Ricci tensor. The decision algorithm based on the de Rham decomposition deduced by O. Kowalski is presented for real analytic connections on real analytic manifolds. For affirmative answers regarding the existence of metrics a subsequent construction of all compatible metrics with the given connection is demonstrated. This process can be effectively implemented into a computer. An inspiration for studying these classical issues was the use of the metrization technique in the calculus of variation in decision-making about the variationality of certain systems of partial differential equations of second order as shown on examples again. We again analyse examples of obstructions preventing metrizability. In addition, reconstruction of metrics or connections in special coordinates using the curvature tensor is outlined. The last chapter deals with the Riemannian and affine spaces which are, in a specific sense, the "same in the neighbourhood of all points", i.e. - homogeneous.

Keywords

afinní konexe, tenzor křivosti, Ricciho tenzor, varieta, metrizovatelnost, metrika, variační počet, rekonstrukce metriky, rekonstrukce konexe, homogenní prostor, algebra holonomií

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 9. 7. 2012

Accessible from:: 9. 7. 2012

Thesis defence

• Supervisor: Doc. RNDr. Alena Vanžurová, CSc.

PALACKÝ UNIVERSITY IN OLOMOUC

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Mathematics / Algebra and Geometry