Aplikace duálních kvaternionů na vybrané problémy

Mgr. Jitka PROŠKOVÁ

Doctoral thesis

Application of dual quaternions on selected problems

Abstract:

In recent years, the study of quaternions has become an active research area of applied geometry, mainly due to an elegant and efficient possibility to represent using them rotations in three dimensional space. Thanks to their distinguished properties, quaternions are often used in computer graphics, inverse kinematics robotics or physics. Furthermore, dual quaternions are ordered pairs of quaternions. They are especially suitable for describing rigid transformations, i.e., compositions of rotations and translations. It means that this structure can be considered as a very efficient tool for solving mathematical problems originated for instance in kinematics, bioinformatics or geodesy, i.e., whenever the motion of a rigid body defined as a continuous set of displacements is investigated. The main goal of this thesis is to provide a theoretical analysis and practical applications of the dual quaternions on the selected problems originated in geometric modelling and other sciences or various branches of technical practise. Primarily we focus on problems which are traditionally solved using quaternions and show that involving dual quaternions can simplify the designed approaches and sets them on a unifying basis. \emph{In the first part of the thesis we recall the fundamental theory of quaternion algebra and their application for the description of the three dimensional rotations. Then we continue with dual numbers. The quaternions and dual numbers are used for the introduction of dual quaternions. Subsequently, some elementary notions dealing with dual quaternion are introduced and explained. Compared to quaternions that can represent only rotation, the dual quaternions offer a broader representation of both the rotation and translation.} \emph{In the second part of the thesis we discuss several practical applications of dual quaternions. Firstly, one of the challenging problems from geodesy is solved. The Bur\v{s}a-Wolf similarity transformation model is presented and a new mathematical method based on the dual quaternions is introduced and documented. Next, we deal with an interesting problem relating to structural biology, i.e., the description of the protein structure is thoroughly investigated. The well-known method for describing secondary protein structures is called SrewFit, and the dual-quaternions-improvement is designed as a new approach. The last part of the thesis is devoted to modifying existing Hermite interpolation schemes by rational spline motions with help of dual quaternions. Functionality of the designed method is illustrated on several examples.

Abstract:

V posledních letech se studium kvaternionů stalo aktivní oblastí výzkumu aplikované geometrie díky své schopnosti jednoduše a elegantně reprezentovat rotační pohyb. Díky této vlastnosti jsou kvaterniony často využívány zejména v oblasti počítačové grafiky, inverzní kinematiky nebo také fyziky. Mimo to, je duální kvaternion také chápán jako uspořádaná dvojice kvaternionů. Duální kvaterniony jsou především vhodné pro popis přímé shodnosti, tj. složení rotace a posunutí. Tato struktura se stává tedy velmi efektivním nástrojem při řešení matematických problémů, vzniklých například v kinematice, bioinformatice nebo geodézii, tj. vždy, když je zkoumán pohyb tuhého tělesa definovaný jako spojitá množina posunutí. Hlavním cílem předkládané práce je poskytnout teoretické poznatky a praktické použití duálních kvaternionů na vybraných problémech, které vznikají v geometrickém modelování a dalších vědách nebo různých odvětví technické praxe. Speciálně se zaměřujeme na problémy, které jsou obvykle řešené pomocí kvaternionů a ukazují, že aplikace duálních kvaternionů dokáže zjednodušit navrhované přístupy a hlavně jim dát stejný základ. V první části práce připomeneme fundamentální teorii kvaternionové algebry a schopnost kvaternionů popsat trojrozměrnou rotaci. Dále pokračujeme duálními čísly. Kvaterniony a duální čísla se používají při zavedení duálních kvaternionů. Následně jsou představeny některé základní pojmy vztažené k duálním kvaternionům. Duální kvaterniony ve srovnání s kvaterniony, které dokáží reprezentovat rotaci, nám dokáží nabídnout, vzhledem k jejich schopnosti reprezentovat rotace a posunutí, širší využití. V druhé části práce se budeme zabývat praktickým využitím duálních kvaternionů. Nejdříve se zaměříme na jeden z náročných problémů geodezie, tj. Burša-Wolf transformační model. Je zde představena a popsána nová matematická metoda založena na duálních kvaternionech. Dalším zajímavým problémem, který je zde podrobně zkoumán, je problém zaměřující se na strukturální biologii, tj. popis proteinové struktury. Použijeme metodu SrewFit, která popisuje sekundární proteinovou strukturu, a vylepšíme ji s pomocí duálních kvaternionů. Poslední část této práce je věnována úpravě Hermitovské interpolace racionálními spline pohyby. Funkčnost navržené metody je ilustrována na několika příkladech.

Keywords

Kvaterniony, duální kvaterniony, transformační metoda Burša-Wolf, sekundární proteinová struktura, metoda ScrewFit, racionální spline pohyb, hermitovská interpolace.

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 28. 5. 2017

Accessible from:: 31. 12. 2999

Thesis defence

University of West Bohemia

Faculty of Applied Sciences

Doctoral programme / field:
Applied Mathematics / Applied Mathematics