Algebraic models for quantum logic

Kadir Emir, Ph.D.

Doctoral thesis

Abstract:

V této práci zkoumáme různé algebraické modely kvantové logiky, včetně některých, které jsme představili. Naším hlavním cílem je posílit naše porozumění spojení mezi matematickými (algebraickými) strukturami a kvantovou logikou. Náš první model jsou (před)lineární ortosety. Důkladně zkoumáme vztah mezi ortosety a orthomodulárními svazy, grafy a hermitovskými prostory. Popíšeme a vyčíslíme ortosety, když jsou konečné nebo mají konečný řád. Následně se zabýváme kvantovými implikacemi a pravidlem modus ponens pro ortomodulární posety, které jsou obecným zobecněním ortomodulárních svazů. V rámci této práce studujeme pouze "implikaci Kalmbachové" a "non-tolens implikaci" z pěti neklasických kvantových implikací. Jako poslední model této práce představujeme a zkoumáme skew Hilbertovy algebry, které hrají analogickou roli ve vztahu Hilbertových algeber a sekčně pseudokomplementárních posetů, podobně jako je vztah Hilbertových algeber a relativně pseudokomplementárních posetů.

Abstract:

In this thesis, we examine various algebraic models for quantum logic, including some introduced by us. Our main aim is to enhance our understanding the connections between mathematical (algebraic) structures and the quantum logic. Our first model is (pre)linear orthosets. We deeply investigate their close relationship with orthomodular lattices, graphs, and Hermitian spaces. We also formulate and enumerate the orthosets when they are finite or have finite rank. Afterwards, we also study quantum implications and the modus ponens rule for orthomodular posets which are the generalizations of orthomodular lattices. As a part of this thesis we only study "Kalmbach" and "non-tolens" implications out of five non-classical quantum implications. As a last model of the thesis, we introduce and investigate skew Hilbert algebras, which serve a role for sectionally pseudocomplemented posets analogous to the role Hilbert algebras play for relatively pseudocomplemented posets.

Keywords

quantum logic, orthoset, prelinear orthoset, linear orthoset, orthomodular lattice, quantum implication, Kalmbach implication, non-tolens implication, Hilbert algebra, skew Hilbert algebra, kvantová logika, ortoset, predlineární ortoset, lineární ortoset, ortomodulární svaz, kvantová implikace, implikace Kalmbachové, non-tolens implikace, Hilbertova algebra, skew Hilbertova algebra

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 16. 1. 2024

Thesis defence

• Date of defence: 24. 5. 2024
• Supervisor: prof. RNDr. Jan Paseka, CSc.
• Reader: Prof. John Harding, doc. RNDr. Silvia Pulmannová, DrSc.

Masaryk University

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Mathematics and Statistics / Algebra, Number Theory and Mathematical Logic