Základy nestandardní analýzy

Bc. Vladislav Demenchuk

Bakalářská práce

Elements of nonstandard analysis

Anotace:

Nestandartní analýza je oblast matematické logiky, která zavádí hy- perreálná čísla včetně infinitezimálních čísel - jsou to čísla, která jsou menší než jakékoliv reální číslo. Abraham Robinson rozpracoval ne- standartní analýzu v roce 1960. Teorie prozkoumávali pro samu seba a byla použita v různých oblastech: Banachove prostory, diferenciální rovnice, teorie pravděpodobnosti, matematická ekonomie a matema- tická fyzika. Tato práce slouží jako úvod do nestandartni analýzy a zdůrazňuje dvě témata: vytvoření hyperreálních čísel z posloupnosti reálných čísel pomoci ultraproductů a přeformulování klasických vět analýzy v nestandartní podobě. Práce obsahuje stručný úvod, historii analýzy, kapitolu o vytvoření hyperreálných čísel, dvě kapitoly, které zahrnují informace o fungování derivací a integrálů v nestandartní podobě a část o filtrech.

Abstract:

Non-standard analysis is a branch of mathematical logic which intro- duces hyperreal numbers, including infinitesimals, numbers which are that are lesser than any real number. Abraham Robinson devel- oped nonstandard analysis in the 1960s. The theory has since been investigated for its own sake and has been applied in different areas: Banach spaces, differential equations, probability theory, mathemati- cal economics, and mathematical physics. This thesis offer an beginner introduction to the non-standard analysis with focus on showing how to develop hyperreal numbers from sequences of real numbers by direct ultrapower construction and recasting classiscal analysis theorems in non-standard setting. It contains short introduction, a bit of history of analysis, chapter for creating hyperreals, and two chapters for showing how derivatives and integrals work in a non-standard setting, and appendix about filters.

Keywords

nestandartni analyza, hyperreálné čísla, infinitezimální, transfer principle, ultrafilter non-standard analysis, hyperreal numbers, infinitesimal, ultrafilter

Jazyk práce: angličtina

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 2. 1. 2018

Obhajoba závěrečné práce

• Obhajoba proběhla 13. 2. 2018
• Vedoucí: prof. RNDr. Jiří Rosický, DrSc.
• Oponent: Ivan di Liberti

Masarykova univerzita

Přírodovědecká fakulta

Bakalářský studijní program / obor:
Matematika / Obecná matematika