On the Bounds of Conflict-Free Coloring of Planar Graphs

Bc. Lukáš Málik

Diplomová práce

Anotace:

Táto práca sa zaoberá conflict-free ofarbeniami planárnych grafov so zameraním na minimalizáciu počtu potrebných farieb. Na základe štrukturálnych vlastností maximálnych párovaní dokazujeme nový výsledok, ktorý obmedzuje stupeň nespárovaných vrcholov v planárnych grafoch. Tento prístup výrazne zjednodušuje analýzu lokálnych konfigurácií a prispieva k riešeniu otvorenej domnienky o conflict-free chromatickom čísle planárnych grafov. Zavádzame tiež nové nástroje a metódy, ktoré redukujú problém na konečnú množinu zvládnuteľných prípadov. Jeden z náročných podprípadov vyriešime a zároveň načrtávame smer ďalšieho výskumu.

Abstract:

This thesis investigates conflict-free colorings in planar graphs, with a focus on minimizing the number of colors required. Building on structural properties of maximum matchings, we prove a new result that limits the degree of unmatched vertices in planar graphs. This leads to a significant simplification in analyzing local configurations and contributes toward resolving an open conjecture on the conflict-free chromatic number of planar graphs. We also introduce new tools and methods that reduce the problem to a finite set of manageable cases, solving one of the difficult subcases and outlining a path for future progress.

Keywords

conflict-free coloring, open neighborhood, planar graphs, chromatic number, graph matching, Gallai–Edmonds decomposition, bezkonfliktné ofarbenie, otvorené susedstvo, planárne grafy, chromatické číslo, párovanie v grafe, Gallai-Edmondsová dekompozícia

Jazyk práce: angličtina

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 21. 5. 2025

Obhajoba závěrečné práce

• Obhajoba proběhla 19. 6. 2025
• Vedoucí: prof. RNDr. Petr Hliněný, Ph.D.
• Oponent: Mgr. Marek Filakovský, Ph.D.

Masarykova univerzita

Fakulta informatiky

Magisterský studijní program / obor:
Teoretická informatika / Diskrétní algoritmy a modely