Afinní geometrie a Markovovy řetězce

Mgr. Mojmír Vinkler

Bachelor's thesis

Affine geometry and Markov chains

Abstract:

Práce se zabývá afinní geometrií a její aplikací v teorii Markovových řetězců. V první kapitole jsou uvedeny různé definice afinních prostorů a je ukázáno, že jsou navzájem ekvivalentní. Pozornost věnujeme převážně definici afinního prostoru pomocí lineárního zobrazení. V druhé kapitole dáme do souvislosti Markovův řetězec a afinní zobrazení. Naši definici afinního prostoru využijeme k dokázání významných vlastností stochastických matic, zejména existenci stacionárního bodu. V poslední části dokážeme Spernerovo lemma a Brouwerovu větu o pevném bodě, které následně použijeme k důkazu Perron-Frobeniovy věty.

Abstract:

In this work, we look into affine geometry and its application in Markov chain theory. First chapter consists of different definitions of affine space and their equivalence is shown. Attention is paid especially to the definition of affine space by affine map. In second chapter, we describe similarity between Markov chain and affine map. Our definition of affine space will be used to prove important properties of stochastic matrices, especially existence of a fixed point. In the last part, we prove Sperner's lemma and Brouwer fixed point theorem, which we subsequently use in a proof of Perron-Frobenius theorem.

Keywords

Afinní geometrie, Markovovy řetězce, Stochastická matice, Brouwerova věta, Perronova-Frobeniova věta

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 30. 5. 2012

Thesis defence

• Date of defence: 27. 6. 2012
• Supervisor: Bc. Lukáš Vokřínek, PhD.
• Reader: Mgr. Marek Filakovský, Ph.D.

Masaryk University

Faculty of Science

Bachelor programme / field:
Applied Mathematics / Statistics and Data Analysis