Quantum marginal problem

Ing. Jan Vlach, Ph.D.

Doctoral thesis

Abstract:

Tématem této disertační práce je kvantový marginální problém, jehož cílem je určit množinu všech redukovaných kvantových stavů, které jsou kompatibilní s kvantovým stavem složeného systému. Kvantový marginální problém je možno chápat jako analogii klasického marginálního problému, jehož cílem je rozhodnout, zda prvky dané množiny pravděpodobnostních rozdělení mohou představovat marginální pravděpodobnostní rozdělení nějakého sdruženého pravděpodobnostního rozdělení. V případě konečně rozměrných kvantových systémů je obecné řešení kvantového marginálního problému známo. V této disertační práci zkoumáme kvantový marginální problém pro systémy módů elektromagnetického pole, což jsou systémy se spojitými proměnnými a tedy nekonečně rozměrné systémy. Obecná verze kvantového marginálního problému se jeví jako velmi obtížný problém. Proto je náš výzkum zameřen pouze na jeho speciální verzi, ve které jsou uvažovány pouze Gaussovské stavy. Gaussovské stavy hrají důležitou úlohu v kvantové optice a ve zpracování kvantové informace se spojitými proměnnými. Gaussovský kvantový marginální problém byl v minulosti zkoumán pro speciální případy, např. pro případ složeného systému skládajícího se z n módů elektromagnetického pole a n jeho jednomódových podsystémů. Cílem této disertační práce je najít řešení obecnější verze kvantového marginálního problému, kdy uvažované podsystémy se skládájí z libovolného počtu módů. Tato disertační práce obsahuje nové výsledky a pro nejobecnější verzi kvantového marginálního problému uvádí několik přístupů, pomocí kterých byla nejobecnější verze zkoumána. Důležitým výsledkem našeho výzkumu jsou také výstupy počítačových simulací pro různé třídy symplektických transformací.

Abstract:

The theme of this thesis is the quantum marginal problem whose aim is to determine the set of all reduced quantum states which are compatible with a joint quantum state of the composite system. It can be viewed as an analogy of the classical marginal problem in probability theory where the goal is to decide if a given set of probability distributions can form marginal probability distributions of some given joint probability distribution. For finite-dimensional systems the general solution of this problem is already known. In this thesis we investigate the quantum marginal problem for systems of modes of the electromagnetic field. They are continuous-variable (i.e. infinite-dimensional) systems. This problem in its general form seems to be very hard. Therefore my research was focused on the special setting where only Gaussian states are allowed. Gaussian states play an important role in quantum optics and quantum information processing with continuous variables. They are at the heart of quantum information processing with continuous variables. The basic reason for that is that the vacuum state of quantum electrodynamics is itself a Gaussian state. Gaussian quantum marginal problem was studied in the past for the special case where the composite system of n modes is reduced to n subsystems each of which consists of exactly one mode. For this special case the complete solution is known. The goal of this thesis has been to find the solution of the more general case where the reduced subsystems are allowed to have more than one mode. This thesis presents new results, and for the most general case it also presents and analyzes numerous approaches, so far without a final outcome, that were performed during the research as well some new ideas how to approach the most general version of the problem. An important outcome of my research, demonstrated also in some details in the thesis, are results of simulations and theoretical considerations that indicate that some of the most natural approaches to solving the problem does not seem to lead to solution. The research has been divided into two parts. In the first part we deal with an arbitrary chosen subsystem of modes (whose number of modes is between 1 and n - 1 where n is the total number of modes of the composite system). The complementary modes are not taken into account. We have tried to use several methods to solve this part. These methods are described in detail in the thesis. The most time-consuming of them were computer simulations for which it was needed to design sophisticated programs and that required several months of hard work. Finally, we derived the solution of the first part of our research using the Courant-Fischer min-max theorem and the Cauchy interlacing theorem for self-adjoint operators. The mathematical proof that this solution is the best possible is given only for passive transformations. The validity of the solution is supported by the outputs of computer simulations. In the second part of our research one reduced subsystem of k modes (1 < k < n-1) as well as its complementary subsystem of n-k modes were considered. In this case only solution for passive transformations was found.

Keywords

pravděpodobnostní rozdělení, systém módů elektromagnetického pole, Gaussovský stav, kovarianční matice, symplektické transformace, symplektické vlastní hodnoty probability distribution, system of modes of electromagnetic field, Gaussian state, covariance matrix, symplectic transformation, symplectic eigenvalues

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 7. 5. 2015

Thesis defence

• Date of defence: 21. 8. 2015
• Supervisor: prof. RNDr. Jozef Gruska, DrSc.
• Reader: prof. RNDr. Vladimír Bužek, DrSc., Mgr. Ladislav Mišta, Ph.D.

Masaryk University

Faculty of Informatics

Doctoral programme / field:
Informatics (4-years) / Informatics