Rozšířené metody konečných prvků pro aproximaci singularit

Ing. Pavel Exner

Doctoral thesis

Extended finite element methods for approximation of singularities

Abstract:

In this doctoral thesis, a model of groundwater flow in porous media intersected with wells (boreholes, channels) is developed. The model is motivated by the reduced dimension approach which is being often used in fractured porous media problems, especially in granite rocks. The wells are modeled as lower dimensional 1d objects and they intersect the surrounding bulk rock domains. The coupling between the wells and the rock then causes a singular behaviour of the solution in the higher dimensional domains in the vicinity of the cross-sections. The domains are discretized separately resulting in an incompatible mesh of combined dimensions. The core contribution of this work is in the developement of a specialized finite element method for such model. Different Extended finite element methods (XFEM) are studied and new enrichments are suggested to better approximate the singularities and to enable the coupling of the wells with the higher dimensional domains. At first the XFEM is applied in a pressure model, later an enrichment for velocity is suggested and the XFEM is used in a mixed model, solving both velocity and pressure. Different numerical aspects of the XFEM is studied in details, including an adaptive quadrature strategy, a proper choice of the enrichment zone or a conditioning of the resulting linear system. The properties of the suggested XFEM are validated on a set of numerical tests and the optimal convergence rate is demonstrated. The XFEM is implemented as a part of the open-source software Flow123d.

Abstract:

Tato doktorská práce je zaměřena na řešení problému proudění podzemní vody v porézním prostředí, které je ovlivněno přítomností vrtů či studní. Model proudění je sestaven na základě konceptu redukce dimenzí, který je hojně využíván při modelování rozpukaného porézního prostředí, především granitů. Vrty jsou modelovány jako 1d objekty, které protínají blok horniny. Propojení těchto domén v redukovaném modelu způsobuje singularity v řešení v okolí vrtů. Vrty i porézní médium jsou síťovány nezávisle na sobě což vede k výpočetním sítím kombinujícím elementy různých dimenzí. Jádrem doktorské práce je pak vývoj specializované metody konečných prvků pro výše popsaný model. Pro umožnění propojení sítí různých dimenzí a pro zpřesnění aproximace singularit v okolí vrtů je použita rozšířená metoda konečných prvků (XFEM), v rámci níž jsou navrženy nové typy obohacení konečně-prvkové aproximace. Metoda XFEM je nejprve aplikována v modelu pro tlak, dále je navrženo obohacení pro rychlost a metoda je použita ve smíšeném modelu, jehož řešením jsou rychlost i tlak. Doktorská práce se dále detailně věnuje numerickým aspektům v metodě XFEM, a to především adaptivním kvadraturám, volbě velikosti obohacené oblasti nebo podmíněnosti výsledného lineárního systému. Vlastnosti navržené XFEM metody a optimální konvergence jsou ověřeny na sérii numerických experimentů. Praktickým výstupem doktorské práce je implementace metody XFEM jako součásti open-source softwaru Flow123d.

Keywords

Rozšířená metoda konečných prvků (XFEM), singularita, sítě kombinovaných dimenzí, Darcyho proudění, rozpukané porézní prostředí

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 28. 2. 2019

Thesis defence

• Date of defence: 11. 6. 2019
• Supervisor: doc. Mgr. Jan Březina, Ph.D.

Technical University of Liberec

Faculty of Mechatronics, Informatics and Interdisciplinary Studies

Doctoral programme / field:
Applied Science in Technology / Applied Science in Technology