Smíšené metody v problémech nelineární elasticity velkých distorzí

Ing. Tomáš SVATOŇ

Doctoral thesis

Mixed methods in problems of finite elasticity with large distortions

Abstract:

The analysis of rubber-like materials undergoing large elastic deformations is a key topic in field of active polymers, like ionic polymers, hydrogels and nematic elastomers, as well as in biomechanics, for soft tissues. For biomechanics, the hot issue relays in the development of mathematical-physical models that are able to describe the behaviour of physiological processes involving highly deformable tissues, like the skin or the muscles, or hard tissue as cartilage and bones. Such bio-mechanical models and their validation through experiments in vivo or in vitro can be helpful for better understanding physiological processes, for the planning of surgical interventions, or even for designing advanced prosthetic devices. In our case, we focused on the development of a model that describes the contraction of cardiac tissue based on the notion of active distortions. Then, our model has been implemented in a computational code in order to asses its performance through a series of numerical experiments. This second step brought us to face some tough problems, like convergence, locking effect, irregular solutions, together with a careful design of numerical test in order to optimize the computational resources. The present work presents a comparative analysis of the performances of different numerical schemes applied to the solution of a reference benchmark problem. All in all, there are proposed three numerical schemes, based on a compatible method, a mixed method, and the de Veubeke-Hu-Washizu (dVHW) one. An important feature analyzed in the present thesis are the spurious oscillations of the solution which arise in the neighborhood of a jump of the distortion field. The goal of the research is to demonstrate how it is possible to find a solution without these oscillations using the dVHW method. To improve the quality of the solution one may follows two main directions, one related to the numerical scheme, the other to the adaptation of the mesh. For one of our two-dimensional examples, it is demonstrated how, for a given mesh, the dVHW method yields better results than using the mixed formulation. The optimization of the mesh as a strategy to improve the approximation of the solution, has been analyzed in a one-dimensional example, which gives insight on the origin of some computational error in the proposed integration schemes.

Abstract:

Analýza velkých elastických deformací materiálů s vlastnostmi podobných gumě je moderní disciplínou v mnoha odvětvích výzkumu, jako například v biomechanice aktivních polymerů či nematických elastomerů (funkční biomateriály a implantáty). Co se týče biomechaniky problém spočívá v pokusu o sestavení matematicko-fyzikálních modelů pomocí nichž je možný popis fyziologického chování živých tkání od pokožky a svalu až ke tvrdým strukturám jako je chrupavka či kost. Biomechanická analýza a její validace skrze experimentální pokusy in vivo a in vitro může být pomocnou metodou neinvazivních lékařských diagnóz, plánování chirurgických zákroků či navrhování speciálních protéz. V našem případě jsme se především zabývali vývojem matematického modelu kontrakce srdeční tkáně založeného na představě aktivních distorzí. Následovně byla provedena programová implementace s cílem provést sérii numerických výpočtů. Ve druhém kroku bylo nezbytné vyřešit rozlišné numerické problémy, jako konvergence, efekt locking, regularita řešení či vhodné využití výpočetních zdrojů. Předkládaná práce je zaměřena na analýzu porovnání různých numerických schémat aplikovaných na testovací příklad, aby jednotlivá obdržená řešení mohla být snadno konfrontována. Konkrétně jsou formulovány tři numerické metody: kompatibilní, smíšená a de Veubeke-Hu-Washizu (dVHW) formulace. Hlavním studovaným problémem v textu práce jsou nechtěné oscilace, které vznikají v oblasti nespojitosti distorze materiálu. Cílem zkoumání je ukázat, jak použitím dVHW metody najít řešení omezující tyto oscilace. Pro vylepšení kvality řešení mohou být voleny dva hlavní směry: obměna numerického schématu nebo přizpůsobení formy výpočetní sítě. Na dvoudimenzionálním testovacím případě je ukázáno, že dVHW metoda může vykazovat lepší výsledky nežli původní smíšená metoda. Problém optimalizace sítě za účelem lepší aproximace řešení lze analyzovat v jednodimenzionálním příkladě pomocí něhož je také určena numerická chyba řešení nabízených integračních schémat.

Keywords

de Veubeke-Hu-Washizu, konečné prvky, smíšená metoda, nelineární elasticita, distorze, oscilace, biomechanika

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 28. 6. 2012

Accessible from:: 31. 12. 2999

Thesis defence

• Supervisor: Doc. Ing. Josef Daněk, Ph.D.

University of West Bohemia

Faculty of Applied Sciences

Doctoral programme / field:
Mathematics / Applied Mathematics