Parciální diferenciální rovnice druhého řádu s aplikacemi ve finanční matematice

Bc. Anna Vymětalová

Diplomová práce

Partial differential equations of second order with applications in financial mathematics

Anotace:

Tato diplomová práce se věnuje parciálním diferenciálním rovnicím druhého řádu, obzvláště pak rovnicím parabolického typu, a jejich aplikacím ve finanční matice. Je zde podrobně odvozena rovnice vedení tepla a uvedeno její řešení pomocí Fourierovy transformace. Aplikace ve finanční matematice reprezentuje model oceňování opcí. Nejprve je odvozena Blackova-Scholesova parciální diferenciální rovnice pro cenu evropské call opce, následně je nalezeno její řešení pomocí převedení na rovnici vedení tepla. Z numerických metod byla vybrána metoda konečných diferencí. Práce také obsahuje řešené příklady, a to jak z oblasti teorie parciálních diferenciálních rovnic, tak i aplikaci Blackova-Scholesova modelu při oceňování skutečných burzovně obchodovaných opcí. Na závěr jsou uvedeny možnosti rozšíření práce.

Abstract:

This diploma thesis discusses second order partial differential equations, especially parabolic equations, and their applications in financial mathematics. Heat equation is derived in detail and its solution is found by using Fourier transform. Applications in finance are represented by option pricing model. Black-Scholes partial differential equation for European call option is derived and solved via its transformation to heat equation. Finite difference method is used to show numerical valuation. Thesis also contains exercises with their step-by-step solutions for partial differential equations and Black-Scholes model, including valuation of exchange traded options. Possible expansion of the thesis is given in conclusion.

Klíčová slova

parciální diferenciální rovnice druhého řádu, parabolická rovnice, rovnice vedení tepla, Blackův-Scholesův model, oceňování opcí, metoda konečných diferencí, partial differential equations of second order, parabolic equation, heat equation, Black-Scholes model, option valuation, finite difference method

Jazyk práce: čeština

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 13. 5. 2013

Obhajoba závěrečné práce

• Obhajoba proběhla 18. 6. 2013
• Vedoucí: prof. RNDr. Roman Šimon Hilscher, DSc.
• Oponent: doc. RNDr. Martin Kolář, Ph.D.

Masarykova univerzita

Přírodovědecká fakulta

Magisterský studijní program / obor:
Matematika / Finanční matematika