Nakrytí a grupoidy

Bc. Lukáš Krajíček

Bakalářská práce

Coverings and groupoids

Anotace:

Práce se zabývá algebraickou topologií, konkrétně teorií nakrytí. První kapitola je věnována teorii kategorií, na které je tato práce postavena. Cílem je především definovat ekvivalenci kategorií a zavést pojem kolimity. V druhé kapitole zprvu navazujeme na základní kurz topologie - připomínáme pojmy jako jsou cesty, smyčky a homotopie - a následně využíváme znalosti teorie kategorií pro definici a studium fundamentálních grupoidů. Závěr druhé kapitoly je pak věnován Van Kampenově větě. Ve třetí kapitole definujeme nakrytí a dokazujeme vlastnosti zvedání funkcí. Následně klasifikujeme nakrytí pomocí fundamentálních grupoidů.

Abstract:

The thesis is concerned with algebraic topology, specifically the theory of covering space. The initial chapter concentrates on category theory, which is heavily used throughout the thesis. Its goal is to formalize the equivalence of categories and define colimits. In the next chapter, we start by defining some basic topological concepts such as paths, loops, and homotopies, upon which we define fundamental groupoids and study their properties. The end of the chapter is then focused on Van Kampen's theorem. In the third chapter, we define coverings of topological spaces and prove their lifting properties. We then prove the fundamental theorem of covering spaces.

Klíčová slova

Teorie katagorií, Funktor, Přirozená transformace, Ekvivalence kategorií, Topologie, Homotopie, Cesta, Smyčka, Jednoduše souvislý prostor, Fundamentální grupoid, Fundamentální grupa, Van Kampenova věta, Nakrytí, HLP, Fibrace, Opfibrace, Diskrétní fibrace, Diskrétní opfibrace, Kategorizace nakrytí, Grothendieckova konstrukce, Funktor monodromie, Category theory, Functor, Natural transformation, Equivalence of categories, Topology, Homotopy, Path, Loop, Simply connected space, Fundamental groupoid, Fundamental group, Van Kampen theorem, Covering, Fibration, Cofibration, Discrete fibration, Discrete cofibration, Fundamental theorem of covering spaces, Grothendieck construction, Monodromy functor

Jazyk práce: čeština

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 10. 5. 2023

Obhajoba závěrečné práce

• Obhajoba proběhla 15. 6. 2023
• Vedoucí: doc. Lukáš Vokřínek, PhD.
• Oponent: Mgr. Dominik Trnka

Masarykova univerzita

Přírodovědecká fakulta

Bakalářský studijní program / obor:
Matematika / Obecná matematika