Determinant matic nad nekomutativními tělesy

Bc. Jan Procházka

Bachelor's thesis

Determinant of matrices over skew fields

Abstract:

Cílem této bakalářské práce je zavedení determinantu nad nekomutativními tělesy, potažmo ve větší obecnosti nad nekomutativními lokálními okruhy. Obecněji se však práce věnuje zavedení algebraické K-teorie okruhu, konkrétně grupy K_1 jako invariantu invertibilních matic nad libovolnými okruhy a jeho studiu v závislosti na některých typech okruhů. Ukazuje se, že K_1 a determinant, případně Dieudonného determinant, jak se jeho nekomutativní varianta nazývá, spolu úzce souvisejí. Práce vycházela převážně z druhé kapitoly knihy An introduction to algebaric K-theory and its applications od Jonathana Rosenberga, byla také vypracována některá cvičení z této knihy. V neposlední řadě pak opravujeme chybu v důkazu věty o determinantu nad lokálními okruhy.

Abstract:

The main objective of this thesis is the definition of the so called Dieudonné determinant, a variant of the determinant map for matrices over skew fields or more broadly non-commutative local rings. In more abstraction, the thesis studies algebraic K-theory of rings, or more precisely the K_1-group, an invariant associated with the group of invertible matrices over a ring and the behaviour of this invariant for various types of rings. As it turns out, K_1 is closely related to the (Dieudonné) determinant. The main source for this thesis was Chapter 2 of the book An introduction to algebraic K-theory and its applications by Jonathan Rosenberg, we also provided solutions for some of the exercises in the book. Last but not least, we correct an error occurring in the proof of the existence of Dieudonné determinant on page 68.

Keywords

Okruhy, nekomutativní tělesa, algebraická K-teorie okruhu, K_1, determinant, Dieudonného determinant, Rings, division rings, algebraic K-theory of rings, Dieudonné determinant

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 10. 5. 2022

Thesis defence

• Date of defence: 28. 6. 2022
• Supervisor: doc. Lukáš Vokřínek, PhD.
• Reader: Mgr. Miloslav Štěpán

Masaryk University

Faculty of Science

Bachelor programme / field:
Mathematics / Mathematics