Spektrální analýza a aplikace v perforovaných oblastech

Hai LY HONG

Doctoral thesis

Spectral analysis and applications in perforated domains

Abstract:

Spektrální konvergence Laplaceova operátoru v oblastech s dírami přitahuje stále větší pozornost matematiků nejen kvůli svým rozsáhlým aplikacím v různých oblastech, ale také kvůli svým fascinujícím matematickým výzvám. Malé změny v oblastech mohou výrazně ovlivnit fyzikální systémy, a to včetně šíření vln, kvantové mechaniky a vedení tepla. Poznatky o asymptotickém chování spekter jsou klíčové pro návrh a řízení systémů v oblastech jako jsou věda o materiálech, stavební inženýrství a matematická fyzika. Související literatura je rozsáhlá, přesto stále existuje mnoho důležitých otázek, které je potřeba zodpovědět. V této práci zkoumáme tento problém z několika úhlů pohledu. Konkrétněji se zabýváme případem oblastí s malou kompaktní množinou s nulovou Lebesgueovou mírou, která byla odstraněna; následně tento případ rozšiřujeme na případ nekonečně mnoha takových odstraněných množin; dále zkoumáme přesný asymptotický vzorec pro vlastní čísla Neumannova Laplaciánu v oblastech s hvězdicovitými dírami a nakonec využíváme těchto teoretických výsledků ke studiu stabilizace parabolických rovnic pomocí stochastického šumu v perforovaných oblastech. K řešení těchto problémů používáme nástroje jako pokročilou spektrální teorii, asymptotickou analýzu, teorii operátorů a Itôův vzorec pro stochastické parciální diferenciální rovnice. Tyto matematické techniky nám umožňují důsledně analyzovat konvergenci spekter a poskytovat přesné odhady rychlostí konvergence. Tato práce rozšiřuje dosavadní znalosti o spektrální analýze v perforovaných oblastech a její výsledky mohou být nadále rozšiřovány a zkoumány v rámci dalšího výzkumu.

Abstract:

Spectral convergence of the Laplace operator in domains with holes has attracted increasing attention from mathematicians due to its extensive applications in various fields and intriguing mathematical challenges. Small domain changes can significantly affect physical systems, influencing wave propagation, quantum mechanics, and heat conduction. The findings about the asymptotic behaviour of spectra are crucial for the design and control of systems in areas such as materials science, civil engineering, and mathematical physics. The related literature is extensive, yet there are still many important questions to be answered. In this thesis, we investigate this problem from several perspectives. More precisely, we look at the case of domains with a small compact set of zero Lebesgue measure removed; then it is extended to the case of infinitely many such sets removed; next, a precise asymptotic formula for eigenvalues of the Neumann Laplacian in domains with star-shaped holes is explored, and finally, we exploit these theoretical results to study the stabilization of parabolic equations by stochastic noise in perforated domains. In order to tackle these problems, we employ tools such as advanced spectral theory, asymptotic analysis, operator theory, as well as Itô formula for stochastic partial differential equations. These mathematical techniques allow us to rigorously analyze spectra's convergence and provide precise estimates of convergence rates. This thesis provides certain contributions to the existing literature concerning spectral analysis in perforated domains, and its results can certainly be extended and further investigated in future research.

Keywords

Perforované oblasti, Laplacián, spektrální teorie, asymptotické chování vlastních čísel, stabilizace šumem

Jazyk práce: English

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 16. 8. 2024

Zverejniť od: 31. 12. 2999

Obhajoba závěrečné práce

• Vedúci: doc. Diana Schneiderová, PhD., doc. Diana Schneiderová, PhD.

University of Ostrava

Faculty of Science

Doctoral programme / odbor:
Applied Mathematics / Applied Mathematics and Fuzzy modelling