Tuhost a Hamiltonovskost grafů

Mgr. Adam KABELA

Doctoral thesis

Toughness and Hamiltonicity of graphs

Abstract:

The present thesis is motivated by the study of Chvátal's t_0-tough conjecture. We recall this conjecture in the context of Hamiltonian Graph Theory. We review partial results to the conjecture, and we analyse constructions which provide lower bounds to this conjecture and to similar problems. We discuss some unifying views on the successful approaches towards this conjecture. Following the ideas presented in the thesis, we suggest possible directions for further research. We present new results related to the t_0-tough conjecture. In particular, we apply the hypergraph extension of Hall's theorem and show that every 10-tough chordal graph is Hamilton-connected. Also we show that k-trees of toughness greater than k/3 are Hamilton-connected for k >= 3 (and consequently, chordal planar graphs of toughness greater than 1 are Hamilton-connected). These results improve the results of Chen et al. (1998), Broersma et al. (2007) and Böhme et al. (1999). In addition, we study so-called multisplit graphs and show that toughness at least 2 implies Hamilton-connectedness of these graphs; and studying certain 'cactus-like' graphs, we show that their Hamiltonicity can be decided by using Max-flow min-cut theorem. Furthermore, we present constructions of graphs of relatively high toughness whose longest cycles are relatively short. Namely, we construct maximal planar graphs of toughness 5/4, 8/7, greater than 1, respectively; and 1-tough chordal planar graphs, 1-tough planar 3-trees, and k-trees of toughness greater than 1 for k >= 4. These constructions improve the bounds presented by Harant and Owens (1995), Tkáč (1996), Böhme et al. (1999) and Broersma et al. (2007).

Abstract:

Hlavním tématem předložené práce je výzkum související s Chvátalovou hypotézou o tuhosti a Hamiltonovskosti grafů. V úvodu práce připomeneme tuto hypotézu v širším kontextu. Dále studujeme vybrané částečné výsledky a analyzujeme konstrukce, které dávají dolní meze vzhledem k této hypotéze a souvisejícím otázkám. Ve snaze o obecnější porozumění hledáme vzájemné souvislosti mezi vybranými přístupy k tomuto problému. V závěrečné kapitole navrhujeme možná pokračování ve studiu této problematiky, která vycházejí z myšlenek předložené práce. Autor práce předkládá nové výsledky související s Chvátalovou hypotézou. S použitím hypergrafové verze Hallovy věty ukážeme, že každý 10-tuhý chordální graf je Hamiltonovsky souvislý. Dále ukážeme, že k-stromy s tuhostí vyšší než k/3 jsou Hamiltonovsky souvislé pro k >= 3 (a jako důsledek dostáváme Hamiltonovskou souvislost chordálních rovinných grafů s tuhostí vyšší než 1). Zmíněná tvrzení vylepšují dříve známé výsledky Chen a spol. (1998), Broersma a spol. (2007) a Böhme a spol. (1999). Další částečný výsledek se týká takzvaných multisplit grafů, pro které ukážeme, že tuhost alespoň 2 zaručuje Hamiltonovskou souvislost. Zabýváme se také grafy, které mají speciální strukturu odvozenou od takzvaných kaktusů. Ukážeme, že otázka Hamiltonovskosti těchto grafů se dá rozhodovat pomocí Fordovy-Fulkersonovy věty o maximálním toku a minimálním řezu. Studujeme také konstrukce grafů, které mají relativně vysokou tuhost a zároveň relativně krátké nejdelší kružnice. Konkrétně konstruujeme maximální rovinné grafy, jejichž tuhost je 5/4 nebo 8/7 nebo vyšší než 1, a dále 1-tuhé chordální rovinné grafy, 1-tuhé rovinné 3-stromy a k-stromy s tuhostí vyšší než 1 pro k >= 4. Navržené konstrukce vedou k vylepšení dříve známých výsledků Harant a Owens (1995), Tkáč (1996), Böhme a spol. (1999) a Broersma a spol. (2007).

Keywords

tuhost grafů, Hamiltonovskost, průnikové reprezentace grafů, shortness exponent

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 25. 4. 2018

Accessible from:: 31. 12. 2999

Thesis defence

University of West Bohemia

Faculty of Applied Sciences

Doctoral programme / field:
Mathematics / Applied Mathematics