Relace neurčitosti pro komplementární unitární matice

Petra ŠIŠKOVÁ

Bachelor's thesis

Uncertainty relations for complementary unitary matrices

Abstract:

The importance of the uncertainty principle is unquestionable. Not only does it capture the fundamental nature of many quantum systems, but it also presents important limitations relevant to many technical applications, such as quantum cryptography. A primitive for studying the incompatibility of physical quantities and the corresponding uncertainty relations is the pair of complementary unitary matrices. For this pair one can formulate uncertainty relations [1,2] as well as a quantum-mechanical representation for a general quantum system with finite-dimensional Hilbert state space. Remarkably, the uncertainty in any unitary operator has direct physical meaning, and moreover, by taking a proper limit, one can obtain the standard complementary observables and the respective representations for basic quantum systems with infinitedimensional Hilbert state space [3]. Given the efforts aimed at developing the formalism based on complementary unitary matrices, it might seem that this topic has been exhausted, but this is not the case. The purpose of this thesis is to explore the uncertainty relation and more general uncertainty principle for a pair of complementary unitary matrices. The objectives include examining an appropriate uncertainty measure for the unitary operators, establishing the corresponding uncertainty relations, and investigating the properties of minimum uncertainty states. Through a systematic analysis, this work aims to improve our understanding of the uncertainty principle and the minimum uncertainty states. [1] S. Bagchi and A. K. Pati. "Uncertainty relations for general unitary operators". In: Phys. Rev. A 94 (2016), p. 042104. [2] S. Massar and P. Spindel. "Uncertainty relation for the discrete Fourier transform". In: Phys. Rev. Lett. 100 (2008), p. 190401. [3] B.-G. Englert. "Uncertainty relations revisited". In: Phys. Rev. A 494 (2024), p. 129278.

Abstract:

Význam principu neurčitosti je nezpochybnitelný. Nejenže vystihuje základní povahu mnoha kvantových systémů, ale představuje také důležitá omezení pro mnoho technických aplikací, jako je například kvantová kryptografie. Základním modelem pro studium nekompatibility fyzikálních veličin a odpovídajících relací neurčitosti je dvojice komplementárních unitárních matic. Pro tuto dvojici lze formulovat relace neurčitosti [1, 2] i kvantově-mechanickou reprezentaci pro obecný kvantový systém s konečně-rozměrným Hilbertovým stavovým prostorem. Neurčitost v libovolném unitárním operátoru má bezprostřední fyzikální význam, a navíc lze po provedení vhodné limity získat standardní komplementární pozorovatelné a příslušné reprezentace pro základní kvantové systémy s nekonečně rozměrným Hilbertovým stavovým prostorem [3]. Účelem této bakalářské práce je prozkoumat relace neurčitosti a obecnější princip neurčitosti pro dvojici komplementárních unitárních matic. To zahrnuje studium správné míry neurčitosti pro unitární operátory a nalezení příslušných relací neurčitosti, jakožto i odpovídajících stavů, které je saturují. Tato práce si prostřednictvím systematické analýzy klade za cíl zlepšit naše chápání principu neurčitosti a odpovídajících stavů neurčitost minimalizujících. [1] S. Bagchi and A. K. Pati. "Uncertainty relations for general unitary operators". In: Phys. Rev. A 94 (2016), p. 042104. [2] S. Massar and P. Spindel. "Uncertainty relation for the discrete Fourier transform". In: Phys. Rev. Lett. 100 (2008), p. 190401. [3] B.-G. Englert. "Uncertainty relations revisited". In: Phys. Rev. A 494 (2024), p. 129278.

Keywords

komplementarita, unitární matice, míra neurčitosti, princip neurčitosti, stavy minimalizující neurčitost, kvantová mechanika

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 16. 5. 2024

Thesis defence

• Supervisor: doc. Mgr. Ladislav Mišta, Ph.D.

Palacký University Olomouc

Faculty of Science

Bachelor programme / field:
General Physics and Mathematical Physics / General Physics and Mathematical Physics