Diferenciální formy a variační teorie

Bc. Stanislav Hronek

Bachelor's thesis

Differential forms and variational theories

Abstract:

V této bakalářské práci se věnujeme dvěma ze základních fyzikálních problémů a to variačnosti pohybových rovnic a zákonům zachování. Ukazuje se, že pohybové rovnice většiny fyzikálních teorií jsou odvoditelné z určitého vhodně zvoleného variačního principu, jsou tedy Eulerovými-Lagrangeovými rovnicemi odpovídajícího lagrangiánu. Zavedeme aparát diferenciálních forem na fibrovaných prostorech a jejich jetových prodlouženích. Použitím tohoto aparátu je možné získat obecné řešení tzv. silného inverzního problému, které umožní nejenom rozhodnout, zda konkrétní pohybová rovnice je odvoditelná z variačního principu, ale i sestrojit odpovídající lagrangián. Navíc lze odvodit zákony zachování ze symetrií příslušného lagrangiánu nebo přímo ze symetrií pohybových rovnic. Cílem práce je demonstrovat univerzálnost metod variačního počtu na fibrovaných prostorech a jejich poměrně jednoduchou aplikaci na různé fyzikální teorie od klasické mechaniky, přes vlny, klasickou elektrodynamiku ke kvantové mechanice.

Abstract:

In this thesis we tackle some fundamental problems of physics, namely the questions variationality of equations of motion and the problem of conservation laws. It turns out that equations of motion in most of the fundamental theories of physics are Euler-Lagrange equations of appropriately formulated variational principle. We will use the calculus of variations on fibred manifolds and their jet prolongations. Using this geometrical theory one can find a general solution of the so-called strong inverse variational problem allowing one not only to decide whether a concrete equation of motion can be obtained from a variational principle, but also to construct a corresponding variational functional. Moreover, conservation laws can be derived from symmetries of the Lagrangian defining this functional, or directly from symmetries of the equations. The aim is to demonstrate that the methods are universal and easily applicable to distinct physical disciplines: from classical mechanics, through waves, classical electrodynamics to quantum mechanics.

Keywords

fibrované variety, jetová prodloužení, diferenciální formy, variační počet, inverzní variační problém, teorém Noetherové, symetrie, zákony zachování, pohybové rovnice, variačnost fyzikálních teorií, fibred manifolds, jet prolongations, differential forms, calculus of variations, inverse problem, Noether´s theorem, symmetries, conservation laws, equations of motion, variational physical theories

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 18. 5. 2017

Thesis defence

• Date of defence: 22. 6. 2017
• Supervisor: prof. RNDr. Jana Musilová, CSc.

Masaryk University

Faculty of Science

Bachelor programme / field:
Physics / Physics