Algebry s dělením - jejich historie a aplikace

Mgr. Marie Provazníková, Ph.D.

Disertační práce

Division algebras:their history and applications

Anotace:

Disertační práce se zabývá využitím algeber s dělením i obecněji hyperkomplexních čísel zejména v oblasti geometrie a fyziky. Cílem bylo přinést přehled nejčastějších a nejvýznamnějších aplikací a tyto aplikace dále přesněji popsat. V první části práce jsou přesně zkonstruovány algebry s dělením, tedy komplexní čísla, kvaterniony a oktávy Cayley-Dicksonovou konstrukcí. Jsou uvedeny a dokázány jejich vlastnosti, stručně je uvedena historie těchto algeber. Dále jsou zavedeny algebry s asociovanou kvadratickou formou dimenzí 2, 4 a 8. Stěžejní část práce tvoří kapitoly o aplikacích těchto algeber v geometrii, fyzice a matematické analýze. Z geometrických aplikací jsou zde obsaženy následující. Všechny algebry s dělením je možné použít pro popis vektorových polí na sférách. Pro vektorová pole na sférách S^(2n-1) se užívají komplexní čísla, pro sféry S^(4n-1) kvaterniony a pro vektorová pole na sférách S^(8n-1) oktávy. Kvaterniony jsou využity také při konstrukci nakrytí grup SO(3) a SO(4) spinorovými grupami Spin(3) a Spin(4), při popisu rotací ve třírozměrném prostoru, při popisu grup shodností čtyřstěnu a osmistěnu a ve sférické trigonometrii. Dále je zde uvedena konstrukce projektivní roviny nad alternativní algebrou oktáv. Je popsáno valení dvou kulových ploch jednak pomocí kvaternionů a jednak pomocí split oktáv. Duální čísla se uplatňují při popisu orientovaných přímek v rovině. Z fyzikálních aplikací jsou zde uvedeny Pauliho spinové matice, z nichž je možné sestrojit algebru izomorfní algebře kvaternionů, a které se využívají v kvantové mechanice. Dále je popsána Lorentzova grupa a Minkowského prostor pomocí komplexních kvaternionů, jsou odvozeny Maxwellovy rovnice v kvaternionickém tvaru. Algebru oktáv je možné využít pro řešení Yang-Millsovy rovnice. Poslední část práce je věnována komplexní analýze a kvaternionické analýze. Jsou zde definovány holomorfní funkce a uvedeny podmínky holomorfnosti funkce. Dále je zde popsána holomorfnost obecně nad komutativními algebrami dvojných a duálních čísel a také nad algebrou bikomplexních čísel.

Abstract:

This dissertation thesis deals with use of division algebras and more generally with use of hypercomplex numbers especially in the fields of geometry and physics. The aim was to bring a summary of the most frequent and notable applications of these algebras and to describe them. In the first part of this thesis, the division algebras, i.e. complex numbers, quaternions and octonions, are precisely defined using Cayley-Dickson construction. Their properties are presented and proved and the history of these algebras is outlined. Algebras with an associated quadratic form of dimension 2, 4, and 8 are are also defined in this part. The main part of this thesis is formed by the chapters on applications of these algebras in geometry, physics, and mathematical analysis. From geometrical applications, the following are included. All division algebras can be used for description vector fields on spheres. Complex numbers are used for vector fields on S^(2n-1) spheres, quaternions for vector fields on S^(4n-1) spheres and octonions for vector fields on S^(8n-1) spheres. Quaternions are used for group covering of special ortogonal groups SO(3) and SO(4) by spinor groups Spin(3) and Spin(4), for the description of rotations in threedimensional space, for description of isometry groups of tetrahedron and octahedron. The construction of a projective plane over alternative algebra of octonions is also presented here. The rolling of two balls using both quaternions and split octonions is described. Dual numbers are used to describe oriented lines in the plane. From the applications in physics, we introduce Pauli spin matrices, from which an algebra isomorphic to algebra of quaternions can be constructed and which are used in quantum mechanics. Furthermore, Lorentz group and Minkowski space are described using of complex quaternions and Maxwell equations in quaternionic form are derived. Algebra of octonions can be used for solving of Yang-Mills equation. The last part of this thesis is devoted to complex analysis and quaternionic analysis. Holomorphic functions are defined and conditions of holomorphy of the function are introduced. Holomorphy over commutative algebras in general, over algebras of double and dual numbers, and over algebras of bicomplex numbers are described.

Klíčová slova

algebra s dělením, komplexní číslo, kvaternion, oktáva, division algebra, complex number, quaternion, octonion

Jazyk práce: čeština

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 2. 3. 2010

Obhajoba závěrečné práce

• Obhajoba proběhla 21. 4. 2010
• Vedoucí: doc. RNDr. Jiří Vanžura, CSc.
• Oponent: doc. RNDr. Martin Čadek, CSc., prof. RNDr. Josef Mikeš, DrSc.

Masarykova univerzita

Přírodovědecká fakulta

Doktorský studijní program / obor:
Matematika (čtyřleté) / Obecné otázky matematiky