Extremal problems with uniform density constraints

Bc. Filip Kučerák

Bachelor's thesis

Abstract:

Jedným z klasických problémov extremálnej kombinatoriky je určiť maximálny počet hrán grafu s n vrcholmi, ktorý neobsahuje zakázaný podgraf F. Napriek mnohým výsledkom v štandardnom režime grafov je naše chápanie problémov týkajúcich sa hypergrafov veľmi obmedzené. Jeden zo známych problémov, na ktorý nemáme odpoveď aj po päťdesiatich rokoch, je Turánov problém štvorstenu z roku 1961. V tomto probléme sa snažíme určiť maximálny pomer hrán grafu, ktorý neobsahuje úplný 3-uniformý hypergraf so štyrmi vrcholmi. Záverečná práca sa sústredí na režim uniformných Turánovských hustôt, ktorý začal byť skúmaný Erdősom a Sósom v 80. rokoch minulého storočia. V práci sa venujeme prehľadu známych nástrojov a doterajších výsledkov so zameraním na použitie pravdepodobnostných techník a grafovej regularity. Ďalej sa zameriavame na uniformné hustoty 3-uniformných hypergrafov s piatimi vrcholmi a identifikujeme grafy, ktorých skúmanie považujeme za prirodzený krok smerom k určeniu uniformnej hustoty štvorstenu. V záverečnej kapitole rozširujeme zoznam známych hustôt konštruovaním hypergrafu s uniformnou hustotou 8/27.

Abstract:

A classical problem in extremal combinatorics is to determine the maximum number of edges a graph on n vertices can have while not containing a forbidden subgraph F. Despite many results in the standard setting of graphs, very little is known about problems concerning hypergraphs. A canonical example of our limited understanding is the famously open problem of Turán from 1961. The problem asks to determine the maximum portion of edges a 3-uniform hypergraph can have, while not containing the complete hypergraph on four vertices, commonly referred to as tetrahedron. In the thesis, we focus on the uniform Turán density regime, introduced by Erdős and Sós in the 1980s, which requires the edges of hypergraphs to be uniformly distributed. We survey the known results, emphasizing the use of tools from probabilistic and hypergraph regularity methods. Furthermore, we study the uniform density of 3-uniform hypergraphs with five vertices and identify hypergraphs that we hope can serve as a natural step towards resolving the uniform density of the tetrahedron. Finally, we present a joint work in which we improve the classification of the known uniform densities by constructing a hypergraph with a uniform Turán density equal to 8/27, a density previously not known to be achievable.

Keywords

extremal combinatorics, forbidden subgraphs, hypergraphs, Turán density, uniform density, extremálna kombinatorika, zakázané podgrafy, hypergrafy, Turánovské hustoty, uniformná hustota

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 19. 12. 2023

Thesis defence

• Date of defence: 12. 2. 2024
• Supervisor: prof. RNDr. Daniel Kráľ, Ph.D.
• Reader: RNDr. Vít Musil, Ph.D.

Masaryk University

Faculty of Informatics

Bachelor programme / field:
Informatics / Informatics