Observables na kvantových strukturách

Mgr. Dominik LACHMAN

Doctoral thesis

Observables on quantum structures

Abstract:

V disertační práci je zavedena bijektivní korespondence mezi kon\-ečnědimenzionálními observables a spektrálními rozklady pro některé třídy algeber zkoumaných v oblasti kvantových logik. Hlavní výsledek řeší situaci monotónně $\sigma$-úplných efektových algeber splňujících Rieszovu dekompoziční podmínku. Klíčovou částí důkazu je takzvané liftování spektrálních rozkladů. Metoda liftování je zajímavá sama o sobě a v práci je plně popsána. Dále je řešen efekt operace lexikografického součinu na zmíněnou korespondenci. Druhým hlavním výsledkem je popis $n$-spektrálních rozkladů, které lze rozšířit na observables, pro jisté typy lexikografických algeber. V závěru je předveden klasický přístup teorie míry k problému rozšiřování míry (skrze vnější míry) ke konstrukci $n$-observable (k danému $n$-spektrálnímu rozkladu) pro intervalové monotonně $\sigma$-úplné efektové algebry mající věrný $\sigma$-stav.

Abstract:

In the PhD thesis, a one-to-one correspondence between finite-dimensional spectral resolutions and observables is established for various classes of algebras known as Quantum structures. The main result treats the case of monotone $\sigma$-complete effect algebras with Riesz Decomposition Property. The results are achieved using a technique of lifting spectral resolutions, which is presented and which is interesting on its own. Further, the effect of the lexicographic product on the correspondence in concern is investigated. As another main result, a description of $n$-spectral resolutions, which extend to observables for certain types of lexicographic effect algebras is given. In addition, a classical approach to measure extension (via outer measures) is used to provide a construction of $n$-observables (for a given $n$-spectral resolution) for interval effect algebras with faithful $\sigma$-state.

Keywords

efektové algebry, observables, spektrální rozklady, částečně uspořádané grupy, rozšiřování míry Jazyk, anglický

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 1. 9. 2021

Thesis defence

• Date of defence: 9. 12. 2021
• Supervisor: doc. Mgr. Michal Botur, Ph.D.

Palacký University Olomouc

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Mathematics / Algebra and Geometry