Dynamické systémy na grafech

RNDr. Vladimír ŠVÍGLER

Doctoral thesis

Dynamical Systems on Graphs

Abstract:

The goal of this thesis is to summarize our recent results regarding the spatial patterns, periodic orbits and travelling waves of dynamical systems on graphs. We focus on dynamical systems with both discrete and continuous temporal structure and a state space. A strong interest lies in observing phenomena which are unique to dynamical systems with a discrete spatial structure in comparison to their better known counterparts with a continuous spatial domain. This comparison is considered with respect to possible applications in the numerical analysis and modelling of systems whose spatial homogenization leads to a significant reduction of behaviour richness. The two main topics are evolutionary games on graphs and reaction-diffusion equations. Evolutionary game on a graph is a model which describes interactions of players which are organized in a given spatial structure. Each player is assigned a strategy (cooperation or defection in our setting) that is updated in accordance with game rules. This model is an example of a system with a discrete temporal structure and a discrete state space. We examine the connection of the underlying graph structure to the inherent existence of steady states. We also provide proof of existence of arbitrarily long periodic orbits of evolutionary games on a graph. Reaction-diffusion equations usually describe evolution of systems related to chemistry, physics, biology and other fields. The main interest of this part lies in examination of periodic steady states and travelling waves in bistable lattice reaction-diffusion equations (LDE). Roughly speaking, lattice differential equation can be understood as a spatial finite difference discretization of reaction diffusion equation on a real line but has its practical context as a standalone model. The focal model is the Nagumo LDE whose reaction term is driven by a nonlinear cubic function; many results are however applicable to general bistable case. A bistable LDE can possess an infinite number of steady states contrary to its continuous counterpart. This behaviour is sometimes described as spatial chaos since the number of solutions is disproportionally large in comparison to the number of the LDE vertices. We provide results which help to categorize and count the solutions with respect to various symmetries present in the equation. We start our inspection of travelling waves with propagation failure; a situation when the monotonous wave is standing. It usually happens in the LDE in regime with small diffusion intensity. Arguably, the rich structure of stable steady states prevents the waves from travelling in this setting. The study of travelling waves is concluded by introduction of results concerning multichromatic waves which are non-monotonous waves connecting two periodic stable steady states of LDE. Such waves exhibit rich behaviour such as ability to travel in the pinning region, possibility to connect multiple waves to product intricate wave collisions and non-monotonous dependence of the wave speed on the diffusion intensity which is inherent to Nagumo partial differential equation.

Abstract:

Záměrem této práce je shrnout naše nedávné výsledky týkající se konkrétních fenoménů vyskytujících se v dynamických systémech na grafech. Soustředíme se na dynamické systémy s diskrétní a spojitou prostorovou strukturou a časem. Velký důraz klademe na jevy, které se projevují výhradně u systémů s diskrétní prostorovou strukturou narozdíl od jejich spojitých protějšků. Toto srovnání uvažujeme z pohledu možných aplikací v numerické analýze a modelování systémů, u nichž homogenizace prostoru vede k významné redukci chování. Dvěma hlavními tématy jsou evoluční hry na grafech a reakčně-difúzní rovnice. Evoluční hra na grafu je model, jenž popisuje interakce hráčů uspořádaných v nějaké dané prostorové struktuře. Každý hráč má přiřazenu strategii (spolupráce nebo nespolupráce), která je aktualizována v souladu s pravidly hry. Tento model je příkladem systému s diskrétní časovou strukturou a stavovým prostorem. Zkoumáme souvislost mezi strukturou podkladového grafu a existencí pevných bodů systému. Také ukážeme, že evoluční hra na grafu může obsahovat periodické orbity libovoné délky. Reakčně-difúzní rovnice tradičně popisují časový vývoj systémů modelujících chemické, fyzikální, biologické a další děje. Zde se zaměřujeme hlavně na periodická stacionární řešení a cestující vlny v bistabilních reakčně-difúzních rovnicích na mřížce. Mřížkové diferenciální rovnice mohou být chápány buď jako důsledek diskretizace parciálních reakčně-difúzních rovnic na reálné ose pomocí metody konečných diferencí, ale mají své opodstatnění i jako samostatné modely. Za základním model uvažujeme Nagumovu rovnici na mřížce, tj. rovnici, jejíž reakční člen je kubický polynom. Mnoho výsledků je ale platných i pro obecné bistabilní rovnice na mřížkách. Bistabilní rovnice na mřížce má na rozdíl od odpovídající parciální diferenciální rovnice nekonečné množství prostorově heterogenních stacionárních řešení. Toto chování se občas nazývá "prostorový chaos", protože počet řešení je dispropocionálně vyšší než počet uzlů (počet rovnic). V této práci ukážeme, jak lze zavést značící schéma pro periodická stacionární řešení a jak určit jejich přesný počet, pokud budeme uvažovat symetrie rovnice. Naše zkoumání cestujících vln započneme "selháním propagace", tj. situací, při které monotonní vlna necestuje. To obvykle nastává u mřížkové rovnice s malou intenzitou difúze. Obecně se uvažuje, že bohatá struktura stacionárních řešení zabraňuje monotonním vlnám v cestování. Část týkající se cestujících vln uzavřeme představením tzv. "vícebarevných vln"; nemonotonních vln spojujících dvě periodická stacionární řešení rovnice na mřížce. Tyto vlny mohou cestovat i pro kombinace parametrů, kdy monotonní vlny projevují "selhání propagace". Dále je můžeme spojovat do složitějších struktur a studovat jejich srážky. V neposlední řadě pozorujeme nemonotonní závislost rychlosti vlny na intenzitě difúze, což je kvalitativní rozdíl v chování oproti vlnám v Nagumově parciální diferenciální rovnici.

Keywords

reakčně-difúzní rovnice, diferenciální rovnice na mřížce, diferenciální rovnice na grafu, cestující vlny, periodická řešení, stacionární řešení, evoluční hry na grafu, teorie her, periodické orbity, diskrétní dynamické systémy

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 15. 4. 2021

Accessible from:: 31. 12. 2999

Thesis defence

• Supervisor: Doc. RNDr. Petr Stehlík, Ph.D.

University of West Bohemia

Faculty of Applied Sciences

Doctoral programme / field:
Mathematics / Applied Mathematics