LLL algoritmus a Gramova matice

Bc. Lucie Šikudová

Bachelor's thesis

LLL algorithm and Gram matrix

Anotácia:

V dnešní době využívaná asymetrická kryptografie (RSA, ElGamal, kryptografie nad eliptickými křivkami) může být teoreticky prolomena kvantovými počítači. Jedním z možných přístupů postkvantové kryptografie je kryptografie založená na mřížkách (anglicky lattice-based cryptography), jejíž bezpečnost je založena na tom, že některé problémy mřížky se řadí do NP težkých problémů (včetně SVP). Představíme si základní algoritmy pro redukci báze bodové mříže, které se využívají k nalezení přibližně nejkratšího vektoru, a enumeraci umožňující nalezení přesného řešení SVP. Práce přináší nové přístupy k řešení SVP založené na Gramově matici, Choleského dekompozici a kvadratické formě. Praktickou ukázkou jsou kódy v jazyce Python a v systému SageMath. Jednotlivé přístupy jsou otestované a zanalyzované. Z výsledků jsme zjistili, jaká je průměrná vzdálenost optima od nejkratšího vektoru.

Abstract:

The public-key cryptography used today (RSA, ElGamal, elliptic-curve cryptography) can theoretically be broken by quantum computers. One possible approach to post-quantum cryptography is lattice-based cryptography, whose security relies on the fact that some lattice problems are classified as NP-hard problems (including SVP). The thesis presents the basic algorithms for the lattice basis reduction used to find the approximate shortest vector and the enumeration that allows finding the exact solution of the SVP. This work introduces new approaches to solving SVP based on the Gram matrix, Cholesky decomposition and quadratic form. Practical examples are codes in the Python language and the system of SageMath. The different approaches are tested and analyzed. The results show the average distance of the optimum from the shortest vector.

Kľúčové slová

LLL algoritmus, Gramova matice, enumerace, bodová mříž, lineární kombinace, SVP, problém nejkratšího vektoru, Lagrangeův-Gaussův algoritmus, Choleského dekompozice, LLL algorithm, Gram matrix, enumeration, lattice, linear combination, shortest vector problem, Lagrange-Gauss algorithm, Cholesky decomposition

Jazyk práce: Czech

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 19. 5. 2022

Obhajoba závěrečné práce

• Obhajoba proběhla 30. 6. 2022
• Vedúci: Mgr. Marek Sýs, Ph.D.
• Oponent: RNDr. Vojtěch Suchánek

Masaryk University

Faculty of Informatics

Bachelor programme / odbor:
Informatics / Informatics