Optimal Control of Deterministic Chaos

Ing. Roman ŠENKEŘÍK

Doctoral thesis

Abstract:

The main aim of this dissertation is to show that powerful optimizing tools like evolutionary algorithms can be in reality used for the optimization of deterministic chaos control. This work is aimed on explanation of how to use evolutionary algorithms (EAs) and how to properly define the cost function (CF). It is also focused on selection of control method and, the explanation of all possible problems with optimization which comes together in such a difficult task, which is chaos control. Firstly, the most common and used chaos control methods are described - Linearization of Poincaré Map (OGY method), Time - Delayed Feedback (Pyragas method). The next part is focused on the description of the most known examples of chaotic systems, discrete - time systems (Logistic equation, Henon map); and also briefly is focused on time - continuous systems (Lorenz system, Rossler system). The following and the biggest part describes the results of optimization of chaos control. It consists of seven case studies and each one is aimed on testing the proposal of cost function used for optimizations within this case study. This work deals with an investigation on the optimization of the control of chaos by means of EA and constructing of the cost function securing the improvement of system behavior and faster stabilization to desired periodic orbits. The control law is based on two Pyragas methods: Delay feedback control - TDAS and Extended delay feedback control - ETDAS. As models of deterministic chaotic systems, one dimensional Logistic equation and two dimensional Henon map were used. The evolutionary algorithm SOMA (Self-Organizing Migrating Algorithm) was used in four versions and Differential Evolution (DE) in six versions. For each version, simulations were repeated several times to show and check robustness of used method. At the end of this work, the results of optimized chaos control for each case study are compared and also the comparison with classical control technique - OGY is also presented. From the obtained results, it is possible to say that all simulations gave satisfactory results and thus evolutionary algorithms are capable of solving this class of difficult problems and the quality of results does not depend only on the problem being solved, but they are extremely sensitive on the proper definition of the CF, selection of control method or parameter settings of evolutionary algorithms.

Abstract:

Hlavním cílem disertační práce je ukázat, že výkonný nástroj, jakými jsou zcela určitě evoluční algoritmy, je možno v praxi použít k optimalizaci řízení deterministického chaosu. Tato práce je především zaměřena na vysvětlení jak správně použít evoluční algoritmy, jak nadefinovat účelovou funkci a dále je zaměřena na výběr vhodné řídící metody a samozřejmě na vysvětlení všech možných problémů, které mohou nastat v tak obtížné úloze, jakou je řízení chaosu. Nejdříve jsou zde popsány nejběžnější a zároveň nejpoužívanější metody řízení chaosu - Linearizace Poincarého mapy (OGY metoda), metoda zpožděné zpětné vazby (Pyragasova metoda). Další část této práce je zaměřena na popis nejznámějších příkladů chaotických systémů, jednak diskrétních (Logistická rovnice, Henonova mapa), a jednak stručně jsou popsány spojité systémy, kde mezi nejznámější patří Lorenzův a Rösslerův systém. Následující a největší část je zaměřena na popis dosažených výsledku optimalizace řízení chaosu. Skládá se ze sedmi samostatných případových studií. Každá z nich je zaměřena na testování návrhu účelové funkce, která byla použita ve veškerých optimalizacích v rámci dané případové studie. Tato práce se zabývá zkoumáním optimalizace řízení chaosu za pomoci evolučních algoritmů a návrhu účelové funkce, jež by měla zajistit nalezení optimálních výsledků, které by vedly ke zlepšení chování systému a rychlému dosažení žádaného stavu. Řízení probíhá za pomocí dvou Pyragasových metod - TDAS a rozšířené ETDAS verze. Jako model chaotického systému byla zvolena jedno-dimenzionální logistická rovnice a dvou-dimenzionální Henonova mapa. Jako evoluční algoritmy byly použity tyto: algoritmus SOMA (Samo-Organizační-Migrační-Algoritmus) ve čtyřech verzích a Diferenciální Evoluce (DE) v šesti verzích. Pro každou verzi byly simulace opakovány několikrát, aby se ukázala a prověřila účinnost a robustnost použité metody. Na konci praktické části jsou všechny dosažené výsledky porovnány mezi sebou a taktéž již v jednotlivých případových studiích jsou uvedeny dílčí shrnutí výsledků, přičemž srovnání s klasickou řídící technikou - OGY je v této práci též uvedeno. Na základě získaných výsledků je možno tvrdit, že všechny simulace podaly velmi uspokojivé výsledky, a také že evoluční algoritmy jsou schopné řešit i tak složitý problém, a především, že kvalita výsledků nezávisí jen na problému, který je řešen, ale je extrémně závislá na správné definici účelové funkce, výběru řídící techniky, či nastavení samotného evolučního algoritmu.

Keywords

Deterministický chaos, řízení chaosu, optimalizace, evoluční algoritmy

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 12. 5. 2008

Accessible from:: 12. 5. 2008

Identifier: 10781

Thesis defence

• Date of defence: 7. 10. 2008
• Supervisor: doc. Ing. Ivan Zelinka, Ph.D.

Tomas Bata University in Zlín

Faculty of Applied Informatics

Doctoral programme / field:
Chemical and Process Engineering / Technical Cybernetics