Komutativní algebra a její aplikace v algebraické geometrii a teorii čísel

Bc. Jan Vondruška

Master's thesis

Commutative algebra and its applications in algebraic geometry and number theory

Abstract:

V této diplomové práci se věnujeme primárně Picardově grupě kategorií. Nejdřive definujeme Dedekindovy obory, a s použitím konceptů komutativní algebry sestavíme grupu tříd ideálů těchto oborů. Dále definujeme obecně Picardovu grupu a ukážeme, že Picardova grupa kateforie modulů okruhu je izomorfní grupě tříd ideálů tohoto okruhu. Poté definujeme eliptické křivky, popíšeme jejich strukturu a zavedeme grupu tříd divizorů. Tuto grupu použijeme k důkazu, že eliptické křivky mají strukturu grupy. Poté zavedeme pojem svazku, ukážeme, jak se s nimi pracuje, a popíšeme pomocí nich křivky v projektivní rovině. Nakonec ukážeme, že grupa tříd divizorů křivky je Picardova grupa kategorie svazků modulů strukturního svazku této křivky.

Abstract:

In this thesis we study primarily the Picard group of a category. First we introduce Dedekind domains, and using some concepts from commutative algebra, we construct the ideal class group of such a domain. We continue by defining the general concept of the Picard group, before showing that the Picard group of the category of modules of a ring is isomorphic to the ideal class group of this ring. Then, we define elliptic curves, describe their structure, and introduce the divisor class group. We use this to give a proof that elliptic curves have a group structure embedded inside them. Further, we introduce sheaves, and lay out rules for working with them, and giving the sheaf theoretic description of a curve in the projective plane. Finally, we show that the divisor class group of such a curve is the Picard group of the category of sheaves of modules of the structure sheaf of the curve.

Keywords

Picardova grupa, Dedekindův obor, Invertibilní ideál, Svazek modulů, Invertibilní svazek, Divizor, Picard group, Dedekind domain, Invertible ideal, Sheaf of modules, Invertible sheaf, Elliptic curve, Divisor

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 10. 5. 2022

Thesis defence

• Date of defence: 14. 6. 2022
• Supervisor: doc. John Denis Bourke, PhD
• Reader: doc. Lukáš Vokřínek, PhD.

Masaryk University

Faculty of Science

Master programme / field:
Mathematics / Mathematics