Projektivní a injektivní moduly

Bc. Petra Eliášová

Diplomová práce

Anotace:

Práce se zabývá teorií R-modulů a homologickou algebrou. U čtenáře se předpokládají pouze základní znalosti abelovských grup a vektorových prostorů. Teorie R-modulů je budována od samého počátku. Práce začíná základními definicemi a tvrzeními, věnuje se projektivním a injektivním modulům, řetězcovým komplexům a jejich homologiím, rezolventám modulů a derivovaným funktorům. Směřuje k definici globální dimenze a Tor-dimenze okruhu. Zásadním nástrojem k závěrečným výsledkům jsou derivované funktory Tor a Ext. Velká část textu se proto zabývá jejich problematikou. Práce si podrobněji všímá souvislosti funktoru Tor s abelovskými grupami a plochými moduly a souvislosti funktoru Ext s rozšířeními R-modulů. Závěrečná kapitola obsahuje konkrétní příklady okruhů malých dimenzí.

Abstract:

The thesis deals with R-modules and homological algebra. A reader is supposed to have only basic knowledge of Abelian groups and vector spaces. The theory of R-modules is established from the very beginning. The thesis starts with basic definitions and theorems. It introduces projective and injective modules, chain complexes and their homology and cohomology, resolutions of modules and derived functors. The aim is to derive results concerning global dimensions and Tor-dimensions of rings. The main tools in the last part of the work are derived functors Tor and Ext. So a substantial part of the work is devoted to connections of these functors to Abelian groups, flat modules and extensions of R-modules. The last chapter contains examples of rings with small dimensions.

Klíčová slova

Modul, exaktní posloupnost, tenzorový součin, funktor Hom, řetězcový komplex, homologie, projektivní a injektivní rezolventa, derivovaný funktor, Tor, Ext, globální dimenze, Tor-dimenze. Modul, exact sequence, tensor product, functor Hom, chain complex, homology, projective and injective resolutions, global dimension, Tor-dimension.

Jazyk práce: čeština

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 10. 5. 2006

Obhajoba závěrečné práce

• Obhajoba proběhla 5. 6. 2006
• Vedoucí: prof. RNDr. Radan Kučera, DSc.

Masarykova univerzita

Přírodovědecká fakulta

Magisterský studijní program / obor:
Matematika / Učitelství matematiky pro střední školy