Waveletové metody pro přibližné řešení parciálních diferenciálních rovnic

Bc. Daniela Cvejnová

Master's thesis

Wavelet methods for numerical solution of partial differential equations

Abstract:

Diplomová práce se zabývá numerickým řešením parciálních diferenciálních rovnic na čtvecové oblasti, konkrétně na intervalu [0,1]^2, a to pomocí waveletových bází. V první části jsou nadefinovány základní pojmy, jako jsou Hilbertovy a Sobolevovy prostory, Rieszova báze a wavelet. Dále je uveden koncept multirozkladu, který se využívá ke konstrukci waveletových bází. Je také zavedena waveletová báze na intervalu a uvedeny některé důležité vlastnosti waveletů. Ve druhé části jsou definovány spliny, po částech polynomiální funkce, kterých se ke konstrukci waveletů často využívá. Podrobněji se zde zabýváme B-spliny a Hermitovými kubickými spliny. Řešená úloha je představená v kapitole třetí, společně s odvozením její slabé formulace a s podmínkami existence a jednoznačnosti řešení. V rámci této práce byly implementovány tři různé waveletové báze, které jsou představeny v další kapitole. Pomocí těchto bází pak byla numericky řešena zadaná úloha. K řešení byla použita Galerkinova metoda. V poslední kapitole jsou uvedeny obdržené výsledky.

Abstract:

This thesis focuses on numerical solution of the partial differential equation on the square, specifically on the two-dimensional interval [0,1]^2, by using wavelet basis. In the first part, we start with definitions of Hilbert and Sobolevov spaces, Riesz basis and wavelet are stated. This part also introduces the concept of multiresolution analysis, which is later used for the construction of wavelet bases and wavelet basis on the interval. Some important properties of wavelets are also mentioned in this part. In the second part, spline - piecewise-polynomial functions, which are often used for the construction of wavelets, are defined. In detail we deal with B-splines and Hermite cubic splines. The solved equation is introduced in the third part, together with the derivation of the weak formulation and with the conditions of existence and uniqueness of the solution of the equation. In this work, three different wavelet basis were implemented. They are introduced in the next part. Using this bases, the differential equation was numerically solved. The Galerkin method was used for the solving of the equation. In last chapter the obtained results are shown.

Keywords

Rieszova báze, wavelet, škálovací funkce, B-spline, kubický Hermitův spline, numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 30. 4. 2015

Accessible from:: 30. 4. 2015

Thesis defence

• Supervisor: RNDr. Václav Finěk, Ph.D.

Technical University of Liberec

Faculty of Sciences, Humanities and Education

Master programme / field:
Applied mathematics / Mathematical models and their applications