Rough modely frakcionální stochastické volatility

Bc. Jan MATAS

Master's thesis

Rough Models of Fractional Stochastic Volatility

Abstract:

Rough modely stochastické volatility jsou slibným a rozvíjejícím se oborem v oblasti finančního inženýrství a oceňování derivátů. V této diplomové práci nejprve stručně uvedeme historický kontext a motivaci pro vznik těchto modelů a následně představíme aRFSV model, který sjednocuje a zobecňuje RFSV model a rBergomi model. Dále se pro daný model zaměříme na oceňování Evropských opcí, simulaci a kalibraci na reálná tržní data. Pro oceňování evropských opcí používáme Monte Carlo (MC) simulace. Popíšeme a srovnáme dvě metody pro simulaci frakcionálního Brownova pohybu (fBm): Choleského metodu (neužívající aproximace) a hybridní schéma využívající aproximaci. Ukážeme, že obě metody jsou vhodné pro simulaci modelu, přičemž HS je mnohem rychlejší pro simulaci menšího počtu hustě diskretizovaných trajektorií. Implementujeme také metodu redukce rozptylu zvanou turbocharging, a analyzujeme její vliv na odhad ceny opce. Ukážeme, že tato technika nefunguje vždy správně, a proto navrhujeme jednoduchou modifikaci a přísnější omezení pro modelové koeficienty. Dále se zabýváme kalibrací modelu na reálná tržní data a analyzujeme její robustnost vzhledem k nejistotě v opčních datech pomocí metodologie, která využívá bootstrapování dat. Protože náhodnost hraje při kalibraci s použitím MC simulací značnou roli, zabýváme se kalibrací ve dvou módech: se zafixovaným náhodným semínkem pro oceňování a bez fixace. Zafixováním náhodného semínka se sice odstraní šum MC simulací a oceňování pak neobsahuje náhodnost, nicméně kalibrace je v tomto módu citlivá nejen na volbu náhodného semínka, ale i na nejistotu ve struktuře dat opcí, tj. model je méně robustní. Naopak necháme-li náhodné semínko nezafixované, kalibrace modelu je mnohem stabilnější, robustnější a hodnoty koeficientů vycházejí více podle očekávání. Problém ale následně vyvstává v oceňování, kdy modelové ceny jsou zatíženy šumem z MC simulací. Nakonec porovnáváme výsledky analýzy robustnosti pro aRFSV model s výsledky pro Heston, Bates a AFSVJD model.

Abstract:

Rough fractional volatility models are a progressive and promising field of research in derivative pricing. In this thesis, we first introduce the aRFSV model, which unifies and generalizes the RFSV model and the rBergomi model, and examine the milestones that motivated its development. For the pricing of a European call, we employ Monte Carlo (MC) simulations. We compare two methods for generating the fractional Brownian motion: the Cholesky method (exact method) and the Hybrid scheme (approximate method). We show that both methods are appropriate for the simulation of the model and that the latter one is much faster for smaller samples of densely discretized paths. We also implement a variance reduction method referred to as turbocharging and analyze its effect on the variance in price estimations. We show that it does not always work well, so we propose a simple modification and a boundary condition for the model coefficients. We then calibrate the model to a real market dataset and analyze its robustness to uncertain option data, which is based on bootstrapping the dataset. Since the randomness plays an important role in calibration while using MC simulations for the pricing, we examine the calibration in two modes: with a fixed random seed for every price evaluation and without fixing the seed. Fixing the seed eliminates the noise of the MC simulations and thus provides static pricing under the model. However, the calibration is very sensitive to the choice of the random seed; moreover, we show it is less robust. Conversely, letting the seed remain unfixed allows a more stable calibration, resulting in more reasonable coefficient estimates and higher robustness. However, there is a price to be paid for such outcome, namely, more difficult pricing involving noise. Last but not least, we compare the aRFSV model with the Heston, Bates, and AFSVJD models.

Keywords

rough model frakcionální volatility, rough Bergomi model, analýza robustnosti, kalibrace, Monte Carlo simulace, hybridní schéma

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 17. 5. 2019

Accessible from:: 31. 12. 2999

Thesis defence

• Supervisor: Ing. Jan Pospíšil, Ph.D.

University of West Bohemia

Faculty of Applied Sciences

Master programme / field:
Mathematics / Mathematics for Business Studies