Neparametrická regrese v analýze funkcionálních dat

Mgr. et Mgr. Daniela Kuruczová, Ph.D.

Doctoral thesis

Nonparametric regression in functional data analysis

Abstract:

In this thesis, we examine the application of the nonparametric kernel regression in functional data analysis. Our focus is on the sparse functional data, for which are the kernel smoothing methods considered particularly suitable. We demonstrate how the one-dimensional local linear kernel regression can be used to obtain a mean function estimate as well as the estimate of a stationary covariance function. For the two-dimensional local linear kernel estimate, we show its use in nonstationary covariance function estimation. Besides these applications, we introduce a new variable bandwidth selection method. This method is expected to be especially effective when the measurement grid is not uniformly distributed. The advantage of this novel method, compared to the classical global bandwidth selection methods, is shown in multiple simulation studies. Furthermore, we discuss the problem of positive definiteness of the covariance function kernel estimate and show conditions under which a positive definite kernel estimate is obtained. Finally, we demonstrate the application of introduced methods on a real-world sparse dataset covering net family income over time.

Abstract:

V této disertační práci se zabýváme aplikací metod neparametrické jádrové regrese v analýze funkcionálních dat. Soustředíme se na řídká funkcionální data, pro která je jádrová regrese jednou z preferovaných metod odhadu funkce střední hodnoty a kovarianční funkce. Ukazujeme, jak pomocí jednorozměrné lokálně lineární regrese odhadnout funkci střední hodnoty a stacionární kovarianční funkci. Dvourozměrnou lokálně lineární regresi využíváme pro odhad nestacionární kovarianční funkce. V obou aplikacích představujeme vlastní metodu lokální volby vyhlazovacího parametru, která je vhodná zejména v situacích, kdy hustota sítě měření není rovnoměrná. V simulačních studiích ukazujeme výhody této metody oproti klasickým metodám globální volby vyhlazovacího parametru. V rámci odhadu kovarianční funkce se zabýváme zaručením pozitivní definitnosti jádrového odhadu této funkce a ukazujeme, za jakých podmínek je samotný jádrový odhad pozitivně definitní. Na závěr demonstrujeme aplikaci představených metod na reálná řídká data popisující příjem domácnosti v čase.

Keywords

jádrové vyhlazování, neparametrická regrese, volba vyhlazovacího parametru, funkcionální data, řídká funkcionální data, odhad funkce střední hodnoty, odhad kovarianční funkce, kernel smoothing, nonparametric regression, bandwidth selection, functional data, sparse functional data, mean function estimate, covariance function estimate

Language used: Slovak

Date on which the thesis was submitted / produced: 14. 2. 2022

Thesis defence

• Date of defence: 20. 4. 2022
• Supervisor: doc. Mgr. Jan Koláček, Ph.D.
• Reader: doc. RNDr. Zdeněk Hlávka, Ph.D., prof. RNDr. Ivanka Horová, CSc.

Masaryk University

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Mathematics and Statistics / Probability, Statistics and Mathematical Modelling