Vizualizace geometrických vlastností funkcí komplexních proměnných

Bc. Miroslav Polách

Bachelor's thesis

Visualization of geometric properties of functions of complex variables

Abstract:

V této práci představujeme několik příkladů pozoruhodných vlastností holomorfních funkcí (v jedné proměnné), které lze geometricky vizualizovat. Nejvýznamnějším příkladem je základní Abelova věta o nemožnosti řešení algebraických rovnic stupně n>4 pomocí sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování a odmocňování koeficientů. Zatímco standardní důkaz Abelovy věty spočívá v Galoisově teorii, představujeme přístup Arnolda (vyjádřený vynikajícím způsobem v knize Alexejeva), který poskytuje čistě komplexně-analytický důkaz Abelovy věty. Tento důkaz je určitou aplikací důležité oblasti moderní matematiky zvané topologická Galoisova teorie. Mezi jinými věcmi představujeme v práci určité vizualizace Arnoldova-Alexejevova důkazu pomocí 3D projekcí třídy Riemannových ploch spojených s problémem a následně je zobrazíme pomocí softwaru Maple.

Abstract:

In the thesis, we present several examples of remarkable properties of holomorphic functions (in one variable) that can be visualized geometrically. The most significant example is given by the fundamental Abel Theorem on the non-solvability of algebraic equations of degree n>4 in radicals in terms of their coefficients. While a standard proof of the Abel Theorem relies on the Galois Theory, we present the approach of Arnold (exhibited outstandingly in a book of Alekseev) giving a purely complex-analytic proof of the Abel Theorem. This proof is a certain application of an important area of modern mathematics called Topological Galois Theory. Among other things, we present a certain visualization of the Arnold-Alekseev proof, by using 3D projections of a class of Riemann surfaces associated with the problem and visualised using Maple.

Keywords

Algebraické funkce, Riemannovy plochy, Topologická Galoisova teorie, Abelova věta, Algebraic functions, Riemann surfaces, Topological Galois theory, Abel theorem

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 10. 5. 2023

Thesis defence

• Date of defence: 28. 6. 2023
• Supervisor: doc. Ilja Kossovskij, Ph.D.
• Reader: Vinícius Novelli da Silva

Masaryk University

Faculty of Science

Bachelor programme / field:
Mathematics / Statistics and data analysis