Topos-valued infinitary first-order categorical logic

Kristóf Kanalas, MSc

Disertační práce

Anotace:

Začínáme samostatným úvodem do $\kappa$-sitů a $\kappa$-toposů, které zachytí teorie v $L^g_{\infty \kappa }$. Diskutujeme standardní techniky a pojmy teorie modelů v jazyce kategoriální logiky (včetně metody diagramů, prostorů typů a pozitivně uzavřených modelů). V kombinaci s nástroji teorie kategorií získáváme vhodný rámec, který umožňuje následující aplikace: i) Kladnou částečnou odpověď na otázku, zda $\lambda$-čistá zobrazení v $\lambda$-dosažitelných kategoriích jsou regulární monomorfismy? z knihy Locally Presentable and Accessible Categories. ii) Zavádíme distributivní svazový invariant pro $Sh(X)$-hodnotové modely koherentních teorií, kde $X$ je Stoneův prostor. Modelově teoretické vlastnosti (jako pozitivní uzavřenost nebo silná pozitivní uzavřenost) jsou charakterizovány algebraickými vlastnostmi tohoto svazu. Na základě toho uvádíme několik příkladů pozitivně uzavřených, ale ne silně pozitivně uzavřených $Sh(X)$-hodnotových modelů. To kontrastuje s případem modelů s hodnotami v $\mathbf{Set}=Sh({*})$, kde se oba pojmy shodují.

Abstract:

We start by a self-contained introduction to $\kappa$-sites and $\kappa$-toposes, which capture theories in $L^g_{\infty \kappa }$. The standard techniques and notions of model theory are discussed within the language of categorical logic (including: the method of diagrams, type spaces, positively closed models). Combining with the toolkit of category theory, we obtain a powerful framework which allows for applications: i) A partial positive answer to the question "is it true that $\lambda$-pure maps in $\lambda$-accessible categories are regular monos?" from the book Locally Presentable and Accessible Categories. ii) We introduce a distributive lattice invariant of $Sh(X)$-valued models of coherent theories, where $X$ is a Stone space. Model-theoretic properties (such as being positively closed or strongly positively closed) are characterized by algebraic properties of this lattice. Based on that, we give several examples of positively closed but not strongly positively closed $Sh(X)$-valued models. This is in contrast with the $\mathbf{Set}=Sh(*)$-valued case, where the two notions coincide.

Keywords

Grothendieckův topos, $\kappa$-topos, dosažitelná kategorie, metoda diagramů, pozitivně uzavřený model, Grothendieck topos, accessible category, method of diagrams, positively closed model

Jazyk práce: angličtina

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 4. 4. 2025

Obhajoba závěrečné práce

• Obhajoba proběhla 27. 6. 2025
• Vedoucí: prof. RNDr. Jiří Rosický, DrSc.
• Oponent: Ph.D. Tibor Beke, Dr. Jaap van Oosten, PhD Joshua Wrigley

Masarykova univerzita

Přírodovědecká fakulta

Doktorský studijní program / obor:
Matematika a statistika / Algebra, teorie čísel a matematická logika