Existence a bifurkace periodických řešení v modelech visutých mostů

Mgr. Jakub JANOUŠEK

Doctoral thesis

Existence and bifurcation of periodic solutions in models of suspension bridges

Abstract:

This thesis brings an overview of our work concerning solvability and bifurcation in various models of suspension bridges. Our efforts are presented in chronological order. At first, we focus on a one-dimensional damped model of a suspension bridge. We bring a revision of the so far known uniqueness result, by employing standard techniques, such as Banach Contraction Theorem. However, we use more precise geometrical arguments connected to the position of eigenvalues of the corresponding linear operator, and therefore we obtain a significant extension of the allowed interval for the stiffness parameter. Next, we study a model with a spatially variable stiffness parameter. This is an attempt to take into account the discrete nature of the placement of suspension bridge hangers. We investigate qualitative and quantitative properties of this model, especially in comparison to the standard model with constant stiffness. We also show that bifurcation of periodic solutions occurs for certain combinations of the stiffness parameter and the corresponding hanger placement profile. Additionally, there are also blow-ups to be expected. The existence of those depends on the structure of the so called Fučík spectrum of the corresponding linear operator. And finally, we search for sufficient conditions for the (strict) inverse-positivity of the linear fourth order operator associated with the one-dimensional beam equation with a spatially variable coefficient. Hence, this topic is very close to our previous work. We incorporate an evolution of techniques, such as the results of operator reduction introduced and developed by J. Schröder, which allows us to show, that the extrema of the coefficient can significantly breach the originally derived bounds. Let us point out, that this text is divided into two main blocks. The first one serves as the introduction and a brief compilation of our work in the context of related literature and previous results of other authors. Since our main results have been split into three research papers, we add them to this text as appendices, which we consider to be the second main part. There it is possible to find all the proofs and technical details, which were for the sake of brevity omitted from the first part.

Abstract:

Tato práce si klade za cíl shrnout naše výsledky v oblasti modelování visutých mostů, konkrétně se zabývá řešitelností a bifurkacemi periodických řešení v několika vybraných modelech. Text je uspořádán chronologicky podle pořadí, ve kterém jsme se jednotlivými tématy zabývali. Nej-prve se soustředíme na jednodimenzionální model s tlumením a přinášíme revizi dosavadního výsledku týkajícího se jednoznačnosti řešení. K tomu využíváme standardních nástrojů, jako je např. Banachova věta o kontrakci, ovšem tentokrát s použitím přesnějšího geometrického zkoumání polohy vlastních čísel odpovídajícího lineárního operátoru. To nám umožnuje dosáhnout značného rozšíření intervalu přípustné tuhosti mostních lan. Dále zkoumáme model visutého mostu s prostorově proměnnou tuhostí, která přináší možnost, jak do modelu zahrnout informaci o odděleném rozložení připojení lan k mostovce. Zaměřujeme se na kvalitativní a kvantitativní vlastnosti tohoto modelu, které srovnáváme s klasickým mode-lem s konstatní tuhostí. Zjišťujeme, že pro některá nastavení tuhosti a odpovídajícího profilu rozložení lan dochází v modelu k bifurkacím periodických řešení. V neposlední řadě se také zabýváme významem Fučíkova spektra pro možnost existence tzv. blow-upů. Poté se věnujeme tématu, které přímo souvisí se zkoumáním vlivu prostorově proměnné tuhosti, a sice hledání postačujících podmínek pro (striktně) inverzní pozitivitu lineárního diferenciálního operátoru čtvrtého řádu, který odpovídá příslušné rovnici nosníku s proměnnou tuhostí. Pomocí rozšíření technik uvedených J. Schröderem v rámci teorie redukce operátorů, ukazujeme, že minima a maxima prostorově proměnné tuhosti mohou značně překročit meze stanovené dřívějšími výsledky. Závěrem poznamenejme, že tato práce je rozdělena do dvou hlavních úseků. První část slouží jako přehled a kompilace našich výsledků, uvedených v kontextu související literatury, případně předchozích výsledků v dané oblasti. Druhá část je reprezentována přílohou, která zahrnuje tři naše výzkumné články, v nichž jsou k dispozici detailnější informace a také důkazy všech našich tvrzení.

Keywords

Visutý most, nelineární rovnice nosníku, mudely s tlumením, existence slabého řešení, jednoznačnost slabého řešení, skákající nelinearita, proměnný koeficient, bifurkace, rovnice čtvrtého řádu, kladné řešení, inverzní pozitivita

Jazyk práce: English

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 31. 8. 2021

Zverejniť od: 31. 12. 2999

Obhajoba závěrečné práce

• Vedúci: Doc. Ing. Gabriela Holubová, Ph.D.

University of West Bohemia

Faculty of Applied Sciences

Doctoral programme / odbor:
Mathematics / Applied Mathematics