Modelování interaktivních soustav pružných těles

Mgr. Ivona SVOBODOVÁ

Doctoral thesis

Interactive system of elastic bodies

Anotácia:

Teorie pružnosti má široké uplatnění v reálném životě. Matematické modely popisující mechanické chování elastických těles využívají v běžné praxi inženýři mnoha oborů. Za všechny jmenujme stavebnictví a s tím spjaté řešení konstrukčních úloh. A právě sem lze zahrnout téma této dizertace. V této práci je studován model dvou elastických těles ve vzájemné interakci. Prvním tělesem je tenká mezikruhová rotačně symetrická deska. Druhým je pak její okolní elastické prostředí tzv. Winklerova typu, pro které je navržena třída nelineárních operátorů rozšiřujících původní rovnici rovnováhy. Cíle předložené práce jsou ověření řešitelnosti navržených úloh, vhodná diskretizace, algebraická reprezentace, algoritmizace a vytvoření funkčního výpočtového programu. První část ze zabývá spojitou úlohou. V první kapitole přestavíme matematický model včetně fyzikální interpretace. V druhé si připravíme aparát z funkcionální analýzy a prostorů funkcí a ve třetí dokážeme řadu tvrzení formulujících nutné a postačující podmíky existence variačního řešení. Druhá část je věnována diskretizaci. Ve čtvrté kapitole dizertace je popsána zvolená metoda konečných prvků. Důležitým výstupem je důkaz o odhadu vzdálenosti Galerkinovy aproximace od přesného řešení, což je podstatné pro konvergenci diskrétního řešení ke spojitému. Nakonec jsou v páté kapitole představeny dva vhodné algoritmy a opět je řešena otázka konvergence tentokrát k diskrétnímu řešení. Třetí část je praktickým výstupem. Jde o program sestavený podle připravené teorie a jeho funkčnost je prezentována v sedmé kapitole. Navíc je zde numericky ověřena konvergence jednoho z prezentovaných algoritmů.

Abstract:

The theory of elasticity has wide real--world applications. Mathematical models describing a mechanical behaviour of elastic bodies are exploited especially in many engineering fields -- for example in civil or mechanical, which is the topic of this thesis. In the thesis a model of two interacting elastic bodies is studied. The first body is a thin annular plate. The second body is its elastic environment, of so called Winkler type, for which a class of nonlinear operators extending classical equilibrium equation is designed. The main aims of the thesis are the investigation of solvability of formulated problems, proper discretisation, algebraic representation, developement of computational algorithms and their implementation. The first part of the thesis is devoted to continuous problem. In the first chapter we introduce a mathematical model including physical interpretation. In the second one some results from the functional analysis and the theory of function spaces are introduced. And, in the third chapter, there are formulated and proved several uniqueness and existence results for the variational problem. In the second part we are concerned about a discretisation of the formulated problems. In the fourth chapter chosen finite element method is described. An obtained estimation of the distance of the Galerkin approximation from the exact variational solution is essential for the convergence result. Finally, in the fifth chapter there are introduced two appropriate algorithms and solved the problem of convergence to the discrete solution. The third part is a practical output. It is a program developed according to presented theory and its functionality is illustrated in the seventh chapter. Moreover, convergence of one of the presented algorithms is numerically verified.

Kľúčové slová

Okrajová úloha, model desky, nelineární prostředí, elastická překážka, mezikruhová tenká deska, semikoercivita, řešitelnost, aproximace, iterační metody, konvergence

Jazyk práce: Czech

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 31. 5. 2012

Zverejniť od: 31. 5. 2012

Obhajoba závěrečné práce

• Vedúci: Prof. RNDr. dr hab. Jan Andres, DSc.

PALACKÝ UNIVERSITY IN OLOMOUC

Faculty of Science

Doctoral programme / odbor:
Applied Mathematics / Applied Mathematics