Study of a class of bijective S-boxes constructed with Linear Feedback Shift Registers

Bhupendra Singh

Master's thesis

Abstract:

Základními principy návrhu šifry jsou představení zmatek a šíření. V blokových šifrách se S-boxy používají k zavádějte záměnu substitucí. S-boxy jsou implementovány nelineární mapování s určitými žádoucími kryptografickými vlastnostmi k dosažení zmatek. V blokových šifrách založených na substituční permutační síti Používají se bijektivní S-boxy. N × n bijektivní S-boxy jsou mapování od GF (2) ^ n do GF (2) ^ n. Většina blokových šifrů implementuje bijective S-boxy ve formě vyhledávací tabulky. Vyhledávací tabulka implementuje- U b njektivních S-boxů n × n vyžaduje bitovou paměť 2 ^ n × n. Proto, paměťový požadavek pro n × n bijektivní S-boxy je exponenciální s s ohledem na vstupní velikost, n. Kvůli velkému požadavku na paměť S-boxy velikosti n> 8 se ve většině blokových šifrů nepoužívají. S-boxy používané v blokových šifrách musí mít dobré kryptografické údaje vlastnosti. Nejdůležitější vlastnosti jsou malé diferenciální prop agace a malé lineární šíření. Tito jsou nutní odolávat diferenciální a lineární kryptoanalytické útoky. Další vhodné vazby jsou číslo pobočky a struktura cyklu. V této práci navrhujeme dva typy algoritmů pro konstrukci- bijektivních S-boxů. Oba typy algoritmů to umožňují implementovat S-boxy velké velikosti jako n = 32, 64. První typ Algoritmy jsou paměťově efektivní, tj. paměť požadovaná pro n × n S-boxů je lineární s ohledem na vstupní velikost, n. Navíc tyto algoritmy lze použít ke generování dynamických S-boxů (nebo klíčově závislých S-boxů). Druhým typem algoritmů je paměť a časově efektivní, tj. stejně jako čas jsou lineární s ohledem na vstupní velikost, n. První navržený algoritmus je založen na lineární zpětné vazbě posuvné registry. Druhá dvojice algoritmů je rozšíření první pár algoritmů používajících nelineární posuvné registry zpětné vazby. Všechny čtyři navržené algoritmy byly implementovány do jazyka C obvinění. Bylo zjištěno, že mnoho generovaných S-boxů má kryp- tografické vlastnosti srovnatelné s vlastnostmi AES S-boxu. Časová účinnost algoritmus paměti a času efektivní pomocí lineární zpětné vazby posuvný registr přichází na úkor horšího lineárního šíření. Mem- ory a časově efektivní algoritmus využívající nelineární posuvný registr zpětné vazby zlepšuje lineární šíření. Obecně jsou S-boxy generovány pomocí očekává se, že nelineární posuvné registry zpětné vazby budou mít lepší resis- ve srovnání s S-boxy generovanými pomocí lineární zpětnovazební posuvné registry.

Abstract:

The foundational principles of cipher design are the introduction of confusion and diffusion. In block ciphers, the S-boxes are used to introduce confusion by substitution. The S-boxes implement nonlinear mapping having certain desirable cryptographic properties to achieve confusion. In ‘substitution permutation network’ based block ciphers, bijective S-boxes are used. The n × n bijective S-boxes are mappings from GF(2)^n to GF(2)^n. Most of the block ciphers implement bijective S-boxes in the form of a look-up table. The look-up table implementation of n × n bijective S-boxes needs 2^n×n bit memory. Hence, the memory requirement for n × n bijective S-boxes is exponential with respect to the input size, n. Due to the large memory requirement, S-boxes of size n > 8 are not used in most of the block ciphers. S-boxes used in block ciphers must possess good cryptographic properties. The most important properties are small differential propagation and small linear propagation. These are needed to resist the differential and linear cryptanalytic attacks. Other desirable proper- ties are branch number and cycle structure. In this thesis, we propose two types of algorithms for the construction of bijective S-boxes. Both types of algorithms make it feasible to implement S-boxes of large size such as n = 32, 64. The first type of algorithms is memory efficient, i.e., memory required for n × n S-boxes is linear with respect to the input size, n. In addition, these algorithms can be used to generate dynamic S-boxes (or key-dependent S-boxes). The second type of algorithms is memory and time efficient, i.e., memory as well as time are linear with respect to the input size, n. The first pair of algorithms proposed are based on linear feedback shift registers. The second pair of algorithms are extensions of the first pair of algorithms using nonlinear feedback shift registers. All the four proposed algorithms were implemented in the C language. Many of the generated S-boxes were found to be having cryptographic properties comparable to those of AES S-box. The time efficiency of the memory and time efficient algorithm using linear feedback shift register comes at the cost of a poorer linear propagation. Memory and time efficient algorithm using nonlinear feedback shift register improves the linear propagation. In general, S-boxes generated using nonlinear feedback shift registers are expected to have better resistance to cryptanalytic attacks, compared to S-boxes generated using linear feedback shift registers.

Keywords

Branch number, differential propagation, linear feedback shift register, linear propagation, nonlinear feedback shift register, substitution- box.

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 11. 12. 2019

Thesis defence

• Date of defence: 4. 2. 2020
• Supervisor: prof. RNDr. Václav Matyáš, M.Sc.
• Reader: Mgr. Marek Sýs, Ph.D.

Masaryk University

Faculty of Informatics

Master programme / field:
Informatics / Information Technology Security (eng.)