Algorithmic Meta-theorems for Restricted Classes of Graphs

RNDr. Jakub Gajarský, Ph.D.

Doctoral thesis

Abstract:

Algoritmické meta-věty jsou matematická tvrzení typu „Pro všechny problémy vyjádřitelné v dané logice existuje efektivní algoritmus na dané třídě grafů“. Jsou důležitým nástrojem na dokazování existence rychlých algoritmů pro těžké problémy na omezených třídách grafů. V této práci podáváme přehled známých algoritmických meta-vět a dokazujeme několik nových meta-vět. Algoritmické meta-věty se dělí na dva typy v závislosti na logice, pro kterou jsou určeny – algoritmické meta-věty pro monadickou logiku druhého řádu (monadic second order logic, MSO) a algoritmické meta-věty pro logiku prvního řádu (first-order logic, FO). V návaznosti na toto rozlišení se tato práce skládá z dvou částí. V první části se zaobírá Courcellovou větou, která tvrdí, že pro každý problém definovatelný v logice MSO existuje lineární algoritmus na grafech s omezeným parametrem „treewidth“ a rozšířením této věty na grafy s omezeným parametrem „clique width“. Největším nedostatkem těchto výsledků je, že ačkoliv implikují existenci lineárních algoritmů pro širokou škálu problémů, tyto algoritmy nejsou prakticky využitelné kvůli obrovským konstantám, které se v nich vyskytují. V předložené práci dokazujeme, že tyto konstanty se dají vylepšit, když uvažujeme grafy s omezenými parametry „tree-depth“ a „shrub-depth“ místo „treewidth“ a „clique width“. Druhá část dizertační práce se zaměřuje na algoritmické věty pro logiku FO. Nejdříve podáváme přehled úspěšného a nedávno ukončeného směru výzkumu zabývajícího se meta-větami na řídkých grafech, poté se zaměříme na dva hlavní směry dalšího výzkumu – meta-věty pro struktury jiné než grafy a meta-věty pro husté grafy. Výzkum v oblasti meta-vět pro struktury jiné než grafy byl zahájen teprve nedávno a byl zaměřen na částečně uspořádané množiny. V předkládané práci podáváme důkaz nejsilnějšího známého výsledku v této oblasti – dokazujeme existenci kvadratického algoritmu rozhodujícího platnost formulí logiky prvního řádu na částečně uspořádaných množinách omezené šířky. V oblasti algoritmických meta-vět pro husté grafy je největším problémem neexistence vhodné strukturální teorie hustých grafů. Tento problém se pokoušíme překonat zkoumáním tříd grafů interpretovatelných v řídkých grafech a dokazujeme, že pro každý problém definovatelný v logice FO existuje efektivní algoritmus na třídách grafů interpretovatelných v grafech omezeného stupně.

Abstract:

Algorithmic meta-theorems are statements of the form "Every problem expressible in a certain logic is efficiently solvable on a certain class of graphs". They are an important tool for establishing tractability of many important and generally hard problems on restricted classes of graphs. In this work we give an overview of known algorithmic metatheorems together with the techniques used in their proofs and prove several metatheorems of our own. Algorithmic metatheorems can roughly be divided into two classes – metatheorems for monadic second-order (MSO) logic and metatheorems for first-order (FO) logic. Following this distinction, this thesis is logically divided into two parts. In the first part we present Courcelle's theorem stating that every MSO definable property admits linear-time algorithm for graph classes of bounded treewidth and its extension to graphs of bounded clique-width proved by Courcelle, Makowski and Rotics. The main shortcomming of these theorems comes from the fact that even though they imply the existence of linear-time algorithms, these algorithms are of little practical use because the constants involved are huge. We show that these constants can be improved for graphs of bounded treedepth and shrub-depth instead of treewidth and clique-width, respectively. The second part of the thesis is devoted to algorithmic metatheorems for FO logic. After giving an overview of long and recently finished line of research into metatheorems for sparse graph classes, we focus on two main directions of further research – metatheorems for structures other than graphs and metatheorems for non-sparse graphs. The research into metatheorems for FO logic on structures other than graphs started only recently and focused on partially ordered sets. We show the strongest result of this type currently known – we prove that there exists quadratic algorithm for deciding FO formulas on partially ordered sets of bounded width. For the case of non-sparse graph classes, the main problem compared to the results for sparse graph classes is the non-existence of nice structural theory of non-sparse graphs. We try to overcome this by studying graph classes interpretable in sparse graphs and show that there exists an efficient algorithm for deciding every FO definable property on graph classes interpretable in bounded degree graph classes.

Keywords

algoritmické meta-věty, parametrizovaná složitost, strukturální teorie grafů, teorie konečných modelů, algorithmic meta-theorems, parameterized complexity, structural graph theory, finite model-theory

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 29. 4. 2016

Thesis defence

• Date of defence: 21. 9. 2016
• Supervisor: prof. RNDr. Petr Hliněný, Ph.D.
• Reader: prof. RNDr. Jaroslav Nešetřil, DrSc., Prof. Anuj Dawar

Masaryk University

Faculty of Informatics

Doctoral programme / field:
Informatics (4-years) / Informatics