Washington's group of circular units

Mgr. Milan Werl, Ph.D.

Disertační práce

Anotace:

Hlavní cíl této práce je získání nějakých informací o Washingtonově grupě kruhových jednotek C_W(K) pro vhodná abelovská tělesa K. Úspěšný jsem byl v případech, kdy K je kompozitem konečného počtu reálných podtěles kruhových těles s konduktorem rovným mocnině prvočísla (pomocný výsledek kapitoly 1), kdy K je cyklické rozšíření výše uvedeného tělesa, totálně rozvětvené v každém větvícím se prvoideálu a jehož těleso genera v užším smyslu je reálné (kapitola 1) a kdy je konduktor K dělitelný právě dvěma různými prvočísly, což je zobecnění výsledku Kima a Ryu, kteří navíc předpokládali lichost konduktoru (kapitola 2). Hlavní myšlenkou této práce je sestrojení jednotek z C_W(K)-C_S(K), kde C_S(K) je Sinnottova grupa kruhových jednotek tělesa K. Pomocí těchto jednotek vygenerujeme grupu kruhových jednotek C(K), která je větší než Sinnottova grupa. Navíc spočítáme index [C(K):C_S(K)], z něhož s využitím Sinnottovy formule pro index [E(K):C_S(K)], kde E(K) je grupa jednotek tělesa K, spočítáme v mnoha případech také index [E(K):C(K)]. S využitím znalosti Z-báze C_W(K'), kde K' je těleso genera v užším smyslu tělesa K, jsme také často schopni dokázat C(K)=C_W(K).

Abstract:

The main objective of this thesis is to obtain some information about Washington's group of circular units C_W(K) of suitable abelian number fields K. I have been successful when K is a compositum of a finite number of real subfields of cyclotomic fields with prime power conductors (an auxiliary result in Chapter 1), when K is a cyclic extension of above-mentioned field, totally ramified at each ramifying prime ideal and whose genus field in the narrow sense is real (Chapter 1) and when the conductor of K is divisible by exactly two distinct prime divisors, which is a generalisation of a result of Kim and Ryu, where the conductor of K is in addition supposed to be odd (Chapter 2). The main idea in this thesis is to construct units belonging to C_W(K)-C_S(K), where C_S(K) is the group of circular units of K defined by Sinnott. Using these units we generate a group C(K) of circular units that is larger than Sinnott's group and we also compute the index [C(K):C_S(K)], from which using Sinnott's index formula for [E(K):C_S(K)], where E(K) is the group of units of K, we are in many cases able to compute also the index [E(K):C(K)]. With the knowledge of a Z-basis of C_W(K'), where K' is the genus field in the narrow sense of K, we are also in many cases able to prove C(K)=C_W(K).

Keywords

kruhové jednotky, počet tříd ideálů, abelovské těleso, cyklické těleso, index kruhových jednotek, báze kruhových jednotek, circular units, class number, abelian field, cyclic field, index of circular units, basis of circular units

Jazyk práce: angličtina

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 2. 9. 2014

Obhajoba závěrečné práce

• Obhajoba proběhla 7. 1. 2015
• Vedoucí: prof. RNDr. Radan Kučera, DSc.
• Oponent: Mgr. Michal Bulant, Ph.D., Prof. Dr. Cornelius Greither

Masarykova univerzita

Přírodovědecká fakulta

Doktorský studijní program / obor:
Matematika (čtyřleté) / Algebra, teorie čísel a matematická logika