Periodická a kvaziperiodická řešení diferenciálních rovnic Van der Pol-Mathieuova typu

Mgr. Zdeněk Kadeřábek, Ph.D.

Doctoral thesis

Periodic and quasiperiodic solutions of differential equations of Van der Pol-Mathieu type

Abstract:

Dizertační práce se zabývá studiem diferenciálních rovnic, které vycházejí z~Van der Pol-Mathieuovy rovnice. Diferenciální rovnice druhého řádu typu Van der Pol-Mathieu jsou vyšetřovány pomocí metody průměrování, která je převádí na přidružený autonomní systém. U Van der Pol-Mathieuovy rovnice je dokázana existence stabilní periodické trajektorie a je studována Hopfova bifurkace přidruženého autonomního systému Van der Pol-Mathieuovy rovnice, jejíž důsledkem je kvaziperiodické chování původní diferenciální rovnice druhého řádu. Existence periodické trajektorie je dokázana také u zobecněné Van~der~Pol-Mathieuovy rovnice a jsou uvedeny podmínky, za kterých se vyskytuje kvaziperiodické chování jejího řešení. V práci jsou studovány další rovnice odvozené ze zobecněné Van~der~Pol-Mathieuovy rovnice a mimo jiné je dokázana Bautinova bifurkace autonomního systému příslušnému upravené zobecněné Van der Pol-Mathieuově rovnici.

Abstract:

The dissertation studies differential equations which are derived from Van der Pol-Mathieu equation. The second order differential equations of Van der Pol-Mathieu type are investigated using the method of averaging which transforms them to the associated autonomous system. The existence of stable periodic trajectory of Van der Pol-Mathieu equation is proved and Hopf bifurcation of associated autonomous system of Van der Pol-Mathieu equation is studied. The Hopf bifurcation implies the quasiperiodic behavior of the original second order differential equation. The existence of periodic trajectory of generalized Van der Pol-Mathieu equation is also proved and the conditions for quasiperiodic behavior of its solution are stated. The disertation includes more equations derived from the generalized Van der Pol-Mathieu equation and among others Bautin bifurcation of the autonomous system associated with modified generalized Van der Pol-Mathieu equation is proved.

Keywords

Van der Pol-Mathieuova rovnice, autonomní systém, metoda průměrování, periodické řešení, Hopfova bifurkace, Bautinova bifurkace, kvaziperiodické chování, Van der Polova rovnice, Mathieuova rovnice, prachové plazma, Duffingova rovnice, dynamický systém Van der Pol-Mathieu equation, autonomous system, averaging method, periodic solution, Hopf bifurcation, Bautin bifurcation, quasiperiodic behavior, Van der Pol equation, Mathieu equation, dusty plasma, Duffing equation, dynamical system

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 4. 5. 2016

Thesis defence

• Date of defence: 27. 6. 2016
• Supervisor: doc. RNDr. Josef Kalas, CSc.
• Reader: doc. Mgr. Robert Mařík, Ph.D., prof. Aleksandre Lomtatidze, DrSc.

Masaryk University

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Matematics (4-years) / Mathematical Analysis