Frakcionální Brownův pohyb a jeho aplikace

Bc. Doležalová Doležalová

Master's thesis

Fractional Brownian motion and its applications

Abstract:

Tato diplomová práce se věnuje frakcionálnímu Brownovu pohybu, který zobecňuje Brownův pohyb (Wienerův proces), a to tak, že umožňuje korelaci přírůstků, která je řízena Hurstovým parametrem. Jsou zde odvozeny některé důležité vlastnosti tohoto procesu a uvedeny dvě metody pro generování jeho trajektorií v R. Dále jsou popsány tři metody pro odhad Hurstova parametru včetně jejich implementace v R a jejich zhodnocení i porovnání na simulovaných datech. Poslední části se týká využití frakcionálního Brownova pohybu v praxi, zejména ve finanční matematice při oceňování opcí a modelování volatility.

Abstract:

In this thesis, we study the fractional Brownian motion, which generalizes the Brownian motion (Wiener process), by allowing its increments to be correlated, which is controlled by the Hurst parameter. Some essential properties of this process are derived here, and two methods for generating the trajectories of this process are implemented in R. Then, three methods for estimating the Hurst parameter are described, including their implementation in R and their assessment and comparison on simulated data. The last part of the thesis is about the practical use of fractional Brownian motion, especially in financial mathematics in option pricing and volatility modeling.

Keywords

Frakcionální Brownův pohyb, Wienerův proces, Hurstův parametr, R/S analýza, Metoda agregovaného rozptylu, Metoda DFA, Frakcionální Hestonův model, Stochastická volatilita, Fractional Brownian motion, Wiener process, Hurst exponent, R/S analysis, Aggregated variance method, DFA method, Fractional Heston model, Stochastic volatility

Language used: Czech

Date on which the thesis was submitted / produced: 9. 5. 2022

Thesis defence

• Date of defence: 8. 6. 2022
• Supervisor: Mgr. Ondřej Pokora, Ph.D.
• Reader: doc. RNDr. Martin Kolář, Ph.D.

Masaryk University

Faculty of Science

Master programme / field:
Applied Mathematics / Finance and insurance mathematics