Mnohoznačné fraktály

Mgr. Miroslav RYPKA

Doctoral thesis

Multivalued fractals and hyperfractals

Abstract:

I když jsou konkrétní příklady staré už přes sto let, fraktály jsou systematicky zkoumány až v posledních čtyřiceti letech. Tato disertační práce se zaměřuje na fraktály konstruované pomocí iteračních systémů. Teorie fraktálů, které jsou atraktory iteračních systémů funkcí, se zdá být téměř úplná. Naproti tomu výzkum mnohoznačných fraktálů získaných pomocí iteračních systémů mnohoznačných funkcí rozhodně ještě uzavřen není. Iterační systémy funkcí byly motivovány aplikacemi ve zpracování obrazu a mnohoznačné fraktály spíše dynamickými systémy. Proto se jejich teorie vyvíjely prakticky odděleně. V práci tedy zobecňujeme pojmy známé pro iterační systémy funkcí i pro mnohoznačné fraktály a zkoumáme struktury, jejichž supportem nebo stínem jsou mnohoznačné fraktály. Nejdůležitějším zaváděným pojmem je hyperfraktál, který představuje množinu adresových množin mnohoznačného fraktálu. Hyperfraktály budou představovat pojítko mezi fraktály generovanými iteračními systémy funkcí a mnohoznačnými fraktály. Využíváme je při kreslení mnohoznačných fraktálů pomoc í chaotické hry. Hyperfraktály jsou atraktory iteračních systémů funkcí v hyperprostorech, a tak počítáme jejich Hausdorffovu dimenzi pomocí Moranovy formule a definujeme jejich soběpodobnost. Soběpodobností hyperfraktálů pak můžeme vysvětlit vizuální soběpodobnost odpovídajících mnohoznačných fraktálů. Navíc zobrazíme alespoň projekce metrické struktury hyperfraktálů. Podobně jako získáme mnohoznačný fraktál jako stín hyperfraktálu, konstruujeme míru na mnohoznačném fraktálu jako stín invariantní míry na hyperfraktálu. V poslední kapitole zobecňujeme výsledky pro prostory fuzzy množin. Jejich zásadní výhoda spočívá v tom, že stupeň příslušnosti bodu k fuzzy množině může představovat stupeň šedi bodu na obrázku.

Abstract:

Fractals generated by iterated function systems are systematically studied from 1981. The theory of multivalued fractals is developed from 2001 almost separately. In the thesis, we treat multivalued fractals and structures supported by them by means of hyperfractals. We deal with structure, self-similarity of multivalued fractals and their visualization. We discuss relationship of multivalued fractals to fractals generated by iterated function systems. We also extend the theory of hyperfractals. We proceed in the following way. First, we review hyperspaces, maps and hypermaps, since fractals are fixed points of hypermaps in hyperspaces. We also remind iterated function systems and related notions of code space, self-similarity and invariant measure. Although we usually construct fractals by means of the Banach theorem, we discuss other fixed point theorems, which can be applied in hyperspaces. We describe generalizations of the Banach (metric) and Schauder (topological) fixed point theorems. Existence results for metric and topological multivalued fractals and hyperfractals are supplied. We study multivalued fractals and associated hyperfractals generated by the same iterated multifunction system. We prove that they possess the same address structure. Since we can also regard fractals generated by iterated function systems as attractors of chaotic dynamical systems, we can draw them by means of the chaos game. We remind the theory related to the chaos game, particularly ergodic theory and chaos. Next, we investigate visualization and dimension of hyperfractals. Hyperfractals lie in hyperspaces, which are nonlinear and infinite-dimensional spaces. For a particular class of hyperfractals, we construct projections of their structure by means of support functions. We apply the Moran formula to calculate dimension of self-similar hyperfractals. We also show that self-similar fractals form a subset of shadows of self-similar hyperfractals. Since hyperfractals are attractors of iterated function systems, we visualize also an invariant measure. Moreover, we construct a shadow of the invariant measure supported by the underlying multivalued fractal by means of ergodic theorem.

Keywords

fraktál, mnohoznačný fraktál, superfraktál, hyperfraktál, fuzzy fraktál, kódový prostor, soběpodobnost, Hausdorffova dimenze, chaotická hra

Language used: English

Date on which the thesis was submitted / produced: 13. 9. 2012

Accessible from:: 13. 9. 2012

Thesis defence

• Supervisor: Prof. RNDr. dr hab. Jan Andres, DSc.

PALACKÝ UNIVERSITY IN OLOMOUC

Faculty of Science

Doctoral programme / field:
Mathematics / Mathematical Analysis