Singulární Dirichletovy úlohy pro rovnici druhého řádu

Mgr. Jakub STRYJA

Disertační práce

Singular Dirichlet problem for second order differential equation

Anotace:

Teorii diferenciálních rovnic je v současné době věnovaná velká pozornost. Je to způsobeno množstvím aplikací v různých vědních disciplínách i v technické praxi. Hlavním cílem této práce je nalézt postačující podmínky pro existenci řešení singulární okrajové úlohy druhého řádu. K důkazu existence řešení jsou využity metody teorie diferenciálních rovnic. Jedná se především o metodu apriorních odhadů a metodu horních a dolních funkcí. Dále jsou využity principy funkcionální analýzy, a to konkrétně teorie pevných bodů v Banachových prostorech. V první kapitole jsou zavedeny základní definice. Jsou zde uvedeny věty, které jsou v práci využity a dále je nastíněn úvod do problematiky. Druhá kapitola se zabývá regulárním problémem. Jsou zde dokázány věty zaručující existenci řešení regulárního problému včetně jejich odhadů. Tyto věty jsou využity ve třetí kapitole. Hlavní výsledky práce jsou obsaženy ve třetí kapitole. Zde jsou nejprve vysloveny dva obecné existenční principy pro singulární problém a s jejich pomocí dokázány tři aplikace. V první aplikaci je studován problém bez fí-Laplaciánu. Singularity můžou být pouze v prostorových proměnných. Výsledky této aplikace jsou uvedeny v článku Singular Dirichlet BVP for second order ODE. V druhé aplikaci je studován problém s fí-Laplaciánem. Singularity můžou být v časové a první prostorové proměnné. Tato kapitola je založena na práci Dirichlet problem with phi-Laplacian and mixed singularities. V třetí aplikaci je opět studován problém s fí-Laplaciánem a singularity mohou být ve všech třech proměnných. Dosažené výsledky se objeví v článku Lower and upper functions in singular Dirichlet problem with phi-Laplacian. Další možnosti zkoumání jsou vidět v článku Oscilatory solutions of singular equations arising in hydrodynamics. Jsou zde na reálné polopřímce studovány singulární rovnice, které zobecňují rovnice zkoumané například v hydrodynamice nebo v nelineární teorii pole.

Abstract:

On the differential equations theory is given focus now, because this theory has many applications in various disciplinary and in technical practice. The main aim of thesis is to give sufficient conditions for solvability of second order singular Dirichlet problem for ordinary differential equations. Main tools of investigation are the method of lower and upper functions, method of apriori estimates for differential equations and fixed point theory in Banach spaces. In the first section we focus on basic definitions and theorems, which are used in the thesis and further on the introduction to the problem is described briefly. The second section covers the regular problem. Here theorems give existence of solutions and estimates of solutions too. These results are used in the third section. The main result of this work is contained in the third section. First we prove two general existence principles for singular problem and then we use these principles to prove three applications. In the first application we study problem without phi-Laplacian. Singularities can be only in space variables. The results are contained in the article Singular Dirichlet BVP for second order ODE. In the second application we consider the problem with phi-Laplacian and singularities can be in the time and in the first space variable. This application is based on the paper Dirichlet problem with phi-Laplacian and mixed singularities. In the third application the problem with phi-Laplacian is considered again. Singularities can be in all three variables. Results of this application appear in the article Lower and upper functions in singular Dirichlet problem with phi-Laplacian. The next ways are contained in the paper Oscilatory solutions of singular equations arising in hydrodynamics. This work studies singular equations on the real half-line, which generalize equations studied for example in hydrodynamics or nonlinear field theory.

Klíčová slova

Singulární Dirichletova úloha, dolní a horní funkce, existence kladného řešení, časové a prostorové singularity

Jazyk práce: čeština

Datum vytvoření / odevzdání či podání práce: 29. 8. 2011

Zveřejnit od: 29. 8. 2011

Obhajoba závěrečné práce

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

Přírodovědecká fakulta

Doktorský studijní program / obor:
Matematika / Matematická analýza